数学得意な奴誰かこの確率の問題解いてくれ

1 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:06:54.641 ID:+tMaeZfS0.net

1,2,4,8,16,32,64,128,…
の中から無作為に1つ数字を取り出すときその最高位の数字が
「4」である確率はいくらか？

2 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:07:52.746 ID:rsa2MXce0.net

無限

3 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:07:58.850 ID:63jHer840.net

物事はあるとないの二択だから1/2

4 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:09:48.750 ID:C+JDzSC/0.net

問題が気に入らないので答えたくありません

5 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:10:09.767 ID:HGOVeAGU0.net

大体3かな

6 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:10:44.469 ID:D7GDc/bH0.net

無限の要素の中から無作為に？

7 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:11:54.335 ID:ddzKyw0n0.net

3で合ってるはず

8 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:12:03.417 ID:+tMaeZfS0.net

>>6
知り合いに出された問題だからよくわからんけど多分第n項までで確率
求めてから極限取るんだと思う

9 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:12:34.477 ID:+tMaeZfS0.net

確率が3なわけないだろ真面目に考えてくれ！！

10 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:12:39.847 ID:rsa2MXce0.net

最高位を見ると
1,2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,4,8,1,3,6,1,2,…

10個で循環してるから1/10

11 ：いい湯 ◆E.Oyu.HZhc ：2015/05/23(土) 11:13:58.168 ID:PZOiz+Uo0.net

3/5

12 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:15:00.821 ID:ddzKyw0n0.net

>>8
なら初めからそう書けや

13 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:16:10.943 ID:+tMaeZfS0.net

>>10
最初の方だけみるとそうかもしれんが後々見てくと循環はしてないぞ

14 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:17:06.595 ID:t4YgGZD00.net

無限個のものから無作為にとるとはどういうことなのか

15 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:20:18.138 ID:7BE6eZHN0.net

最高位の変化の仕方は
12481
12491
1251
1361
1371
だろ
後はわかるな？

16 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:20:59.270 ID:rsa2MXce0.net

>>13
適当だもん

17 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:22:42.181 ID:+tMaeZfS0.net

>>15
なるほど、とっかかりになりそうだな
そっからどうすんだ？

18 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:24:07.128 ID:YPU9O3250.net

logは常用対数
2^kに対して
log4 + n ≦ k log2 < log5 + n
を満たす自然数nが存在するとき2^kの最高位は4

19 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:24:26.961 ID:ddzKyw0n0.net

証明がわからん
2^Nと10^Mとの誤差がεのとき
各2^kは10^(M*k/N)に対して一定の範囲内だから
ほぼ均等に分布してると見なすことが出来る
でいけるか？

20 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:27:20.546 ID:+tMaeZfS0.net

>>19
均等に分布してたとしたら答えはどうなるん？

21 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:29:32.481 ID:0++/593H0.net

�@2^k=40+a(0≦a≦8)と仮定すればk〜k+10において循環することを数学的帰納法で示す
�Aa≠9を数学的帰納法で示す

22 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:29:47.752 ID:ddzKyw0n0.net

>>20
3にはならないんじゃないかな

23 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:31:26.293 ID:+tMaeZfS0.net

>>21
いやだから循環しないしa=9にもなるって

24 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:31:34.779 ID:7ARWTzArd.net

マジレスするとlog[10](1+1/4)
4じゃなくてkだとlog[10](1+1/k)

25 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:33:41.418 ID:+tMaeZfS0.net

>>24
何でや…
確かに和は1になるけど

26 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:33:42.086 ID:CDiM+obEK.net

1/4096

27 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:36:55.802 ID:7ARWTzArd.net

>>25
ベンフォードの法則でggr

28 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:41:58.948 ID:+tMaeZfS0.net

>>27
あれ証明知らないわ
てかあれって自然数全体じゃなくてもいけるの？

29 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:43:19.375 ID:ddzKyw0n0.net

ベンフォードの法則だけでは説明になってないんですが

30 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:43:25.375 ID:7BE6eZHN0.net

うるせえ死ね

31 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:43:48.034 ID:YPU9O3250.net

約0.111…に収束する

32 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:44:41.435 ID:7ARWTzArd.net

>>28
2^nの最上位の数字も同じ法則に従う
ピーターフランクルの本に書いてあった

33 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:45:00.872 ID:9o/B0Dit0.net

>>32
その証明が知りたい

34 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:45:40.359 ID:2WcX9uYB0.net

あたまいいひといっぱいだ

35 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:49:14.174 ID:7ARWTzArd.net

>>33
いま外出中だからその本持ってないな
>>15の方針を使うでおっけー
2^n 最上位 とかで検索かければなにか引っ掛かるんじゃね

36 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:54:28.977 ID:YPU9O3250.net

2006年早稲田大学教育学部の入試問題

{2^n | 1 ≦ n ≦ 555} の中に、最高位が４であるものはいくつあるか

37 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:56:39.182 ID:iAU9v6o/0.net

限りなく0に近い数が答え

38 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:58:25.319 ID:iAU9v6o/0.net

>>24
範囲をでかくしていくと０に近くなるが正解だと思うんだが

39 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:58:30.058 ID:7ARWTzArd.net

>>36
最近灘か開成で555を2014だったかにした問題でたな

40 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:59:45.149 ID:7ARWTzArd.net

>>38
そんなことはない

41 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:59:56.575 ID:+tMaeZfS0.net

>>32
そうなのか、それは知らなかったな

42 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:03:09.647 ID:iAU9v6o/0.net

>>40
え？
だいたい十分の一、だいたい１００分の１、だいたい１０００分の１……になるんじゃないの？

43 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:08:42.577 ID:wapQZZuy0.net

1/10に収束するだろうなあと思って試しに
1000乗までエクセルでやってみたけど96/1000まで出たよ

44 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:11:07.320 ID:7ARWTzArd.net

>>42
>>15のいくつかのパターンのどれかが巡回するんだから
すくなくとも1/11以上になりそうだって思わない？

45 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:11:39.287 ID:9o/B0Dit0.net

2^n最高位の変化の仕方は
1,2,4,8,1,...
1,2,4,9,1,...
1,2,5,1,...
1,3,6,1,...
1,3,7,1,...
の5通りしかない
4が出てくるのは1番目と2番目のパターンのときで
両方とも2を4回掛けると1桁増えるパターン

4が出てこないのは2を3回掛けて1桁増えるとき

4が出てくる(2を4回掛けて1桁増える)のパターンが1,...,2^nまでに起こった回数をk回とすると
(log_10 2 = aと書くことにして)2^nの桁数が[na]である（[・]はガウス記号）ことから
4k+3([na]-k)=n
つまりk=n-3[na]
特にn(1-3a)<k<n(1-3n)-3
辺々nで割ってn→無限大とすれば最左辺と最右辺は1-3aに収束するから
求める確率（ここでは最初のn個のうち最高位が4であるものの割合の極限を
そう呼ぶことにする）は1-3log_10 2 （これは確かにlog