数学得意な奴誰かこの確率の問題解いてくれ

45 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:11:39.287 ID:9o/B0Dit0.net

2^n最高位の変化の仕方は
1,2,4,8,1,...
1,2,4,9,1,...
1,2,5,1,...
1,3,6,1,...
1,3,7,1,...
の5通りしかない
4が出てくるのは1番目と2番目のパターンのときで
両方とも2を4回掛けると1桁増えるパターン

4が出てこないのは2を3回掛けて1桁増えるとき

4が出てくる(2を4回掛けて1桁増える)のパターンが1,...,2^nまでに起こった回数をk回とすると
(log_10 2 = aと書くことにして)2^nの桁数が[na]である（[・]はガウス記号）ことから
4k+3([na]-k)=n
つまりk=n-3[na]
特にn(1-3a)<k<n(1-3n)-3
辺々nで割ってn→無限大とすれば最左辺と最右辺は1-3aに収束するから
求める確率（ここでは最初のn個のうち最高位が4であるものの割合の極限を
そう呼ぶことにする）は1-3log_10 2 （これは確かにlog