数学得意な奴誰かこの確率の問題解いてくれ

1 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:06:54.641 ID:+tMaeZfS0.net

1,2,4,8,16,32,64,128,…
の中から無作為に1つ数字を取り出すときその最高位の数字が
「4」である確率はいくらか？

38 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:58:25.319 ID:iAU9v6o/0.net

>>24
範囲をでかくしていくと０に近くなるが正解だと思うんだが

39 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:58:30.058 ID:7ARWTzArd.net

>>36
最近灘か開成で555を2014だったかにした問題でたな

40 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:59:45.149 ID:7ARWTzArd.net

>>38
そんなことはない

41 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 11:59:56.575 ID:+tMaeZfS0.net

>>32
そうなのか、それは知らなかったな

42 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:03:09.647 ID:iAU9v6o/0.net

>>40
え？
だいたい十分の一、だいたい１００分の１、だいたい１０００分の１……になるんじゃないの？

43 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:08:42.577 ID:wapQZZuy0.net

1/10に収束するだろうなあと思って試しに
1000乗までエクセルでやってみたけど96/1000まで出たよ

44 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:11:07.320 ID:7ARWTzArd.net

>>42
>>15のいくつかのパターンのどれかが巡回するんだから
すくなくとも1/11以上になりそうだって思わない？

45 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:11:39.287 ID:9o/B0Dit0.net

2^n最高位の変化の仕方は
1,2,4,8,1,...
1,2,4,9,1,...
1,2,5,1,...
1,3,6,1,...
1,3,7,1,...
の5通りしかない
4が出てくるのは1番目と2番目のパターンのときで
両方とも2を4回掛けると1桁増えるパターン

4が出てこないのは2を3回掛けて1桁増えるとき

4が出てくる(2を4回掛けて1桁増える)のパターンが1,...,2^nまでに起こった回数をk回とすると
(log_10 2 = aと書くことにして)2^nの桁数が[na]である（[・]はガウス記号）ことから
4k+3([na]-k)=n
つまりk=n-3[na]
特にn(1-3a)<k<n(1-3n)-3
辺々nで割ってn→無限大とすれば最左辺と最右辺は1-3aに収束するから
求める確率（ここでは最初のn個のうち最高位が4であるものの割合の極限を
そう呼ぶことにする）は1-3log_10 2 （これは確かにlog

46 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:12:06.346 ID:9o/B0Dit0.net

（これは確かにlog_10 (1+(1/4))に等しい）

47 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:12:23.175 ID:+tMaeZfS0.net

>>15の方針で大ざっぱな解答作ってみたけどこれでどう？

2の累乗で表されるk桁の自然数の個数は3個か4個でそのうち4個の場合は
必ず最高位4のものを1個含む
第N項の数字がn桁だとして、それまでに3個のグループx個、4個のグループ
y個登場したとすれば
x+y≒n
3x+4y≒N
∴y≒N-3nだから
確率は約(N-3n)/N
n=log(10)2^(N-1)+1
=(N-1)log(10)2+1
≒Nlog(10)2だから
極限取ると1-3log(10)2=log(10)5/4でこれが答え
近似のとこは厳密には挟み撃ちでいける

48 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:12:42.892 ID:wapQZZuy0.net

常用対数として
klog2-int(klog2)がlog4とlog5で挟まれる個数をCOUNTIFでkを1から1000までとばして数えた

49 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:13:29.015 ID:7ARWTzArd.net

2人同じタイミングで来たな
たぶんそれであってると思う

50 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:15:10.229 ID:7ARWTzArd.net

>>47は≒を多用しているのがあまりよくないかも
>>45を参考にした方がいいかと

51 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:15:46.024 ID:9o/B0Dit0.net

2^nの桁数は[na]+1だったな

52 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:15:59.339 ID:wapQZZuy0.net

すまん
1の中のlog5-log4の大きさの区間に適当に投げ込んだボールが入るイメージだから
log(4/5)〜0.9691になるわ

53 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:18:43.889 ID:ddzKyw0n0.net

桁数か、なるほどな
次は
>4じゃなくてkだとlog[10](1+1/k)
の証明を頼む

54 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:19:27.211 ID:wapQZZuy0.net

0.09691だすまん
log2を整数倍したものの小数点以下の挙動を考えたとき、これが0から1の間をまんべんなく通ると仮定したとき、
これがlog4とlog5の間に入る確率はちょうどlog(5/4)
この仮定が適当かどうかはがんばったら証明できそう

55 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:20:31.546 ID:9o/B0Dit0.net

>>53
1と4以外は同じ方針だと厳しそうだな

56 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:21:04.678 ID:+tMaeZfS0.net

4だけじゃなくて1〜9すべてに拡張するのは俺じゃ無理そうだ

57 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:21:06.394 ID:7ARWTzArd.net

>>54
4をkに変えるだけだと思うが

58 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:22:28.607 ID:7ARWTzArd.net

桁数上がるパターンが違うのかきついな

59 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:22:31.557 ID:wapQZZuy0.net

俺の方針だといけるはずだぜ

60 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:23:23.886 ID:9o/B0Dit0.net

>>59
「0から1の間をまんべんなく通る」
これの証明が難しそう

61 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:24:01.527 ID:+tMaeZfS0.net

>>59
対数の挙動考えるとかレベル上がってる気がする

62 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:25:17.059 ID:ddzKyw0n0.net

２周、３周をまとめて１パターンにすれば同じ方針でもそのうちできるのかもしれんな

63 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:27:44.982 ID:ddzKyw0n0.net

4は10/2=5の直前の数字だからできただけで
やっぱ拡張は難しいのかも

64 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:28:07.668 ID:YPU9O3250.net

log(n)の小数部の分布は均等じゃなくて1に寄るほど増えてる気がする

65 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:28:25.473 ID:wapQZZuy0.net

カオスの初期値鋭敏性あたり引っ張り出してきたらいけそうな気がするが
やる気はない

66 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:29:48.057 ID:+tMaeZfS0.net

>>65
何それカッコいい

67 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:30:07.788 ID:PIAdVcBiM.net

>>65
関係なくないですか…

68 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:30:58.814 ID:ddzKyw0n0.net

>>61
無理数を整数倍した時の小数部の挙動だから
証明はともかく考えるのは難しくない

69 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:31:18.834 ID:hq8mDsibp.net

確率測度を指定しないことにはなんとも言えん

70 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:32:39.377 ID:PIAdVcBiM.net

これ東大オープンか東大実践で似たようなの出たわ
2011年くらいに

71 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:41:56.245 ID:wapQZZuy0.net

だってこういう話でしょ
有理数じゃなかったら……みたいな議論するんだから
http://i.imgur.com/1f2YV0v.gif

72 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:44:31.238 ID:NDT0Pyt/0.net

http://i.imgur.com/7PtV9M7.jpg

いえついたわ

73 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:46:58.424 ID:PIAdVcBiM.net

>>71
うおっマジか
どういう写像定義したのか良く分からん

74 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:48:46.956 ID:PIAdVcBiM.net

でも1/10の固定点に収束するならカオスではなくないか

75 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:48:54.227 ID:ddzKyw0n0.net

ベンフォードの法則じゃなくてヴェイユの定理って書いてある気がする

76 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:51:46.276 ID:wapQZZuy0.net

これは適当な図だけどさ

カオスなのは無理数をn倍したときの小数点以下の挙動よ

77 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:54:58.234 ID:PIAdVcBiM.net

>>76
今ちょうどカオス勉強してるとこだからあんま詳しくないんだけどカオスなら解なくね？

78 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:56:09.455 ID:NDT0Pyt/0.net

>>75
ヴェイユの定理の系だけど
ベンフォードの法則のひとつの例でもあるという感じなのかな

79 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:58:27.265 ID:Em9fB/rz0.net

>>72
これなんて本？

80 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:59:02.543 ID:ddzKyw0nH.net

「ワイルの一様分布定理」って名前が比較的メジャーっぽい？
ググって説明見たけど理解する気失せた

ベンフォードの法則についてはそのページで一言も言及されてないから
どういう関係だと言いたいのか分からん

81 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:59:03.312 ID:wapQZZuy0.net

weilはヴェイユじゃなくて「ワイルの一様分布定理」で調べたら出てくるね
カオティックなお話もちらほら

82 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 12:59:28.592 ID:PIAdVcBiM.net

ああlog2=0.30103とかで近似するから良いのか

83 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 13:06:00.259 ID:7ARWTzArd.net

>>79
ピーターフランクルの中学生でもわかる大人が解けない数学問題集だったかな

84 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 13:09:57.848 ID:ddzKyw0n0.net

>>81
スペル違う

数学でのカオスって全く知らないが
無理数が関わってるだけでかなり単純な動きに思えるんだけど
こんなんでもカオスなんだ

85 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 13:24:06.183 ID:PIAdVcBiM.net

［log(4),log(5))の区間に入る値をプロットしていったらカオスっぽくなったってことか
そらそうだわ

86 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 13:33:34.341 ID:ddzKyw0n0.net

俺の解釈が正しければ
log1=0の代わりにlogn(mod1)から始めてもlogn(mod1)か1-logn(mod1)だけずれるだけだから
初期鋭敏性は無いんじゃないの

87 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/23(土) 13:51:40.533 ID:sdW5PqEs0.net

これむずかしくねーか