数学 整数問題くれ

1 ： ：2018/03/22(木) 14:40:55.285 ID:eMsM3+cfM.net

ちょっとだけ解く(´・ω・｀)
ちょっとだからな

12 ： ：2018/03/22(木) 15:05:51.449 ID:eMsM3+cfM.net

眠い…(´・ω・｀)
なぜだろう

13 ： ：2018/03/22(木) 15:06:10.007 ID:eMsM3+cfM.net

薬のせいか(´・ω・｀)

14 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 15:06:21.473 ID:uWHXugDga.net

mod4で全部偶数だから無い。

15 ： ：2018/03/22(木) 15:06:57.877 ID:eMsM3+cfM.net

>>14
それもそうだな(´・ω・｀)

16 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 15:07:33.746 ID:Fji1tASk0.net

なんの薬のんでるの

17 ： ：2018/03/22(木) 15:08:06.484 ID:eMsM3+cfM.net

>>16
なんかよく分からんけど花粉症のくすり(´・ω・｀)

18 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 15:08:08.999 ID:xgxywNRp0.net

12p(p+1)+1　が平方数となるような素数pをすべて求めよ

19 ： ：2018/03/22(木) 15:33:30.480 ID:eMsM3+cfM.net

>>18
12p^2+12p+1=(奇数)^2より、
12p^2+12p+1=4k^2+4k+1
⇔3p(p+1)=k(k+1)
⇒p|k∨p|(k+1)
[1]k=np⇒3(p+1)=n(np+1)⇒p=(n^2-3)/(3-n)
n<3なので、
k=2p⇒3(p+1)=2p+1…×
k=p⇒3(p+1)=p+1…×
[2]k=np-1⇒3(p+1)=n(np-1)⇒p=(3+n)/(n^2-3)
n>3ならpは整数にならない
n≦3のとき、pが素数になるのはn=2
以上より、p=5//

20 ： ：2018/03/22(木) 15:34:03.915 ID:eMsM3+cfM.net

用事済んだから帰ろっかな(´・ω・｀)

21 ： ：2018/03/22(木) 15:40:18.143 ID:eMsM3+cfM.net

なんかある？(´・ω・｀)

22 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 15:43:53.721 ID:uWHXugDga.net

自然数を高々4つの平方数の和で表す方法の数はいくつか

23 ： ：2018/03/22(木) 15:48:34.276 ID:eMsM3+cfM.net

>>22
問題の意味がよく分からん…(´・ω・｀)

24 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 15:50:45.704 ID:uWHXugDga.net

n=aa+bb+cc+dd a,b,c,d:整数
となるようなa,b,c,dの選び方の総数r(n)
r(n)≧1だけでも良いよ

25 ： ：2018/03/22(木) 15:52:33.287 ID:eMsM3+cfM.net

>>24
それ求まるの！？Σ(ﾟДﾟﾉ)ﾉ
まぁまずは≧1にトライしてみるね…

26 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 15:54:08.895 ID:R1F1627Y0.net

自然数 n が2つ以上の連続する自然数の和として表せるための必要十分条件を求めよ

27 ： ：2018/03/22(木) 16:09:51.490 ID:eMsM3+cfM.net

平方の和むずいな(´・ω・｀)

>>26
k≧0として、
(n-2^k+1)+(n-2^k+2)+…+(n+2^k-1)+(n+2^k)=2^k(2n+1)
より奇素数を素因数に持つ数はOK
逆に、2の累乗が連続する自然数の和で表せたとすると、k>1として、
n+(n+1)+…+(n+k-1)=2^m
⇔kn+(k(k-1)/2)=2^m
⇔k(2n+k-1)=2^(m+1)
であり、kは偶数なので(2n+k-1)は奇数であるが、
右辺は奇素数を素因数に持たないので矛盾。
以上より、求める条件は「2の累乗でないこと」

28 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 16:15:35.271 ID:uWHXugDga.net

>>27
n-2^k+1<0の可能性を考慮してない

2n個の和なら真ん中の数をk+1/2としてn(2k+1) (k≦n)
(2n+1)個の和なら真ん中の数をkとしてk(2n+1) (k≦n)
より、奇数の約数を持つことが必要十分

29 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 16:16:22.338 ID:uWHXugDga.net

(1以上の)

30 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 16:16:38.368 ID:uWHXugDga.net

3以上でした

31 ： ：2018/03/22(木) 16:30:23.838 ID:eMsM3+cfM.net

>>28-30
たしかに(´・ω・｀)

32 ： ：2018/03/22(木) 16:56:47.035 ID:eMsM3+cfM.net

T={t|a,b,c,d∈Z,t=aa+bb+cc+dd}
とする。T=Nを示す。
s,t∈T
⇒
st=(aa+bb+cc+dd)(ee+ff+gg+hh)
=aaee+aaff+aagg+aahh+…+ddhh
=(ae+bf+cg-dh)^2+(-af+be+ch+dg)^2+(ag+bh-ce+df)^2+(ah-bg+cf+de)^2
(↑うおおおおおおやべえええええｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ)
よって素数のみ調べればよく、

この先は少々お待ちください(´；ω；｀)

33 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 17:19:47.712 ID:uWHXugDga.net

その恒等式と初等整数論の問題の経験があれば出来る

34 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 18:05:28.532 ID:uWHXugDga.net

落とすな

35 ： ：2018/03/22(木) 18:06:37.385 ID:eMsM3+cfM.net

xx+yy+zz+ww=p

うーん分からんなぁ…(´・ω・｀)
これじゃ個数の関数求めるなんて到底無理だぞ…

ちょっと以前に証明した事実が使えそうかなーと思った
[命題]xx+yy+zz≡0 mod pを満たす組(x,y,z)≠(0,0,0)が存在する。
↓証明
https://i.imgur.com/BVfk4cl.jpg

36 ： ：2018/03/22(木) 18:06:54.892 ID:eMsM3+cfM.net

>>34
おっす兄貴！(´・ω・｀)

37 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 18:17:49.745 ID:uWHXugDga.net

個数は複素解析の本に載ってたから書いただけのおまけ
あと>>35の事実は有用

38 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 18:45:55.566 ID:O/yLKZSza.net

素数の最大値は？

39 ： ：2018/03/22(木) 18:49:46.423 ID:eMsM3+cfM.net

証明まとめてみた(´・ω・｀)
合ってるかどうかは分からないので皆さんの判断に任せる

40 ： ：2018/03/22(木) 18:50:20.768 ID:eMsM3+cfM.net

[補題]
xx+yy+zz≡0 mod pを満たす組(x,y,z)≠(0,0,0)が存在する。
[証明]
p≡1 mod 3のとき、フェルマーの小定理とオイラーの基準より(-1,1,0)が存在する。
p≡3 mod 4のとき、オイラーの基準よりaが平方剰余ならば-aは平方剰余ではない。…(*)
したがって、平方剰余であるものと平方剰余でないものは、それぞれ(p-1)/2個ずつある。
平方剰余の集合に、和がpの倍数になる3数が含まれないとすると、
平方剰余の集合から2つの数a,bを選んだときp-a-bは非平方剰余の集合に含まれる。
このとき、(*)よりa+bは平方剰余の集合に含まれる。
これを繰り返すと、na+mb(n,m∈N)は全て平方剰余の集合に含まれることになるが、
n=m=p-1とすると、a,b,na+mbの和がpの倍数になり矛盾。
よって、背理法より平方剰余の集合の中に和がpの倍数となる3数が含まれている。//

[命題]
全ての自然数は平方数4つの和で表せる。
[証明]
T={t|a,b,c,d∈Z,t=aa+bb+cc+dd}
とする。T=Nを示す。
s,t∈T⇒
st=(aa+bb+cc+dd)(ee+ff+gg+hh)
=aaee+aaff+aagg+aahh+…+ddhh
=(ae+bf+cg-dh)^2+(-af+be+ch+dg)^2+(ag+bh-ce+df)^2+(ah-bg+cf+de)^2…(☆)
よって、素数について命題を示せば良い。
ある素数p未満で命題は真だと仮定する。
このとき、補題より、
xx+yy+zz=pkなるx,y,z<pが存在するが、
p/2<xであればxをp-xに置き換える操作をx,y,z全てに行う事でx,y,z<p/2と出来る。
よって、pk<(3/4)p^2⇒k<pなので、仮定よりk=aa+bb+cc+ddなるa,b,c,dが存在する。
これを(☆)のa,b,c,dに代入し、
ae+bf+cg-dh=x
-af+be+ch+dg=y
ag+bh-ce+df=z
ah-bg+cf+de=0
という連立方程式を解けば、e,f,g,hが定まり、
p=ee+ff+gg+hhとなる。
また、p=2で成立は明らか。
以上より、示された。//

41 ： ：2018/03/22(木) 18:51:04.164 ID:eMsM3+cfM.net

途中の連立方程式が不能になる事が無いってのが示せてないかも…？(´・ω・｀)
そこだけ不安

>>38
ない(´・ω・｀)

42 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 18:51:12.431 ID:Fji1tASk0.net ?2BP(1000)

http://img.5ch.net/ico/aramaki2.gif
最後照れるなよ

43 ： ：2018/03/22(木) 18:53:53.216 ID:eMsM3+cfM.net

>>42
…///

44 ： ：2018/03/22(木) 19:00:36.856 ID:eMsM3+cfM.net

でもアレだな(´・ω・｀)
連立方程式解いた結果が整数とは限らないな…(´；ω；｀)

45 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 19:07:49.650 ID:O2cKUlfI0.net

逆行列は整数行列とは限らないからな

46 ： ：2018/03/22(木) 19:17:32.131 ID:eMsM3+cfM.net

でも不能で無い場合必ず有理数解が得られるから、
e,f,g,hを整数倍して整数にした後、mod pの値をとってそれらをe,f,g,hとし、
証明中の操作でe,f,g,hをp/2未満にすれば
ee+ff+gg+hh=kpという式が新たに出来る
このkが最初のkと同一でない事が言えればあるいは…(´・ω・｀)

47 ： ：2018/03/22(木) 19:24:14.052 ID:eMsM3+cfM.net

こんな面倒な事やってらないな(´・ω・｀)
連立方程式解く方がいいが…

48 ： ：2018/03/22(木) 19:29:56.339 ID:eMsM3+cfM.net

無理やな(´・ω・｀)
別の証明方法模索するか………

49 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 19:34:58.129 ID:z/84xSRq0.net

自然数aがありまさう

50 ： ：2018/03/22(木) 19:38:10.808 ID:eMsM3+cfM.net

だめだもうお手上げ(´+ω+｀)

駄目━拒否━却下━ヽ(#ﾟДﾟ)ﾉ━却下━拒否━駄目

51 ： ：2018/03/22(木) 19:38:24.452 ID:eMsM3+cfM.net

恒等式思いついた時は行けると思ったんだがな…(´・ω・｀)
泥沼だったようだ

52 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 19:39:31.516 ID:O2cKUlfI0.net

四平方定理でwikipediaに載ってる
mod kを考えるのがポイント

53 ： ：2018/03/22(木) 19:46:42.899 ID:eMsM3+cfM.net

>>52
見てきたけどやべぇな…(；・∀・)
半分くらいは出来てたかな
オイラーの四平方恒等式って初めて知ったけど、
俺のと違う所が絶妙に嬉しい

(aa+bb+cc+dd)(ee+ff+gg+hh)
=(ae+bf+cg-dh)^2+(-af+be+ch+dg)^2+(ag+bh-ce+df)^2+(ah-bg+cf+de)^2
正直こっちの方がキレイなのでは？(´・ω・｀)

54 ： ：2018/03/22(木) 19:51:00.466 ID:eMsM3+cfM.net

ただ符号の取り方が違うだけか(´・ω・｀)
つまらん

55 ： ：2018/03/22(木) 19:52:56.829 ID:eMsM3+cfM.net

なにか他にあれば受け付けてますお〜(´・ω・｀)

56 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 20:00:54.774 ID:Fji1tASk0.net ?2BP(1000)

http://img.5ch.net/ico/aramaki2.gif
ちょっとだけとは

57 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 20:03:05.745 ID:0CwP7uqD0.net

なんだチミかね！

58 ： ：2018/03/22(木) 20:14:20.008 ID:eMsM3+cfM.net

>>56
まぁ細かいことはいいのじゃ…(´・ω・｀)
>>57
チミだお！(´・ω・｀)

59 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 20:24:24.994 ID:0CwP7uqD0.net

脳みそが理数モードになってるみたいだし
また飽きたころにするわw
学部教養の統計確率微積解析線形代数くらいしかおぼえとらんw

60 ： ：2018/03/22(木) 20:25:49.818 ID:eMsM3+cfM.net

えー(´・ω・｀)
じゃあ漫画村行くお！ｗ

61 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/03/22(木) 20:39:11.734 ID:0CwP7uqD0.net

漫画街はないのか？