数学の超天才来てくれ

1 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:34:50.312 ID:tS+mfwHBM.net

(tan1°)^20は有理数か

これってどうやって解くんだ？

2 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:35:17.081 ID:tS+mfwHBM.net

全く方針が浮かばないんだが

3 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:35:22.289 ID:cbrz9wILM.net

電卓

4 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:35:28.636 ID:z4qW/XQ00.net

無理数だとするとなんだかんだで合わないから有理数だよね

5 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:35:38.657 ID:j1yR8Biz0.net

ラマヌジャンだけどわかんない

6 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:35:47.359 ID:tS+mfwHBM.net

>>3
電卓でどうやって証明するの？

7 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:36:03.434 ID:xN6l7/Cn0.net

背理法

8 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:36:03.736 ID:K4IUPX4bd.net

背理法

9 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:36:12.853 ID:ni3fIh1/0.net

背理法

10 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:36:25.277 ID:WKnXlMPR0.net

背理法

よくわからんが

11 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:36:36.451 ID:tS+mfwHBM.net

>>4
そのなんだかんだを知りたいのよ

>>7,8
背理法で色々式変形してこねくり回したけど歯が立たなかったぞ

12 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:36:37.201 ID:Zzhi4OKC0.net

おそらくだが背理法だな

13 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:36:38.501 ID:ZA6uAM670.net

AならばB

14 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:37:27.661 ID:tS+mfwHBM.net

まあ多分無理数で背理法なんだろうけどその先の方針が全くわからんのよ

15 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:37:40.128 ID:KLg5QO7J0.net

累乗無視して背理法したらできるぞ

16 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:37:44.531 ID:b90NtRH80.net

多数決で決めろ

17 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:38:22.974 ID:tS+mfwHBM.net

>>15
無視しちゃいかんでしょ...

そう20乗無ければ京都大学の有名なやつだからすぐ解けるんだよ

18 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:38:56.894 ID:tS+mfwHBM.net

京大の有名な問題の方法でやろうとすると破綻する

19 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:39:30.412 ID:tS+mfwHBM.net

うわああああああ

20 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:39:47.418 ID:SKgKA3yG0.net

倍角公式を使って背理法

21 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:40:07.986 ID:j1yR8Biz0.net

問題自体が間違ってる説

22 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:40:17.870 ID:QRyn+29Td.net

いったんは無視しろよ

23 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:40:44.073 ID:tS+mfwHBM.net

これはもう安価で無理数か有理数か決めないといかんやつか？

>>20
いや、よーく考えてみ
展開したとき累乗されてるからその方法使えないのよ

24 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:40:52.402 ID:gN/ynsIq0.net

=n/m（m,n互いに素）

25 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:41:18.365 ID:5Ji43JCw0.net

argは？

26 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:42:56.102 ID:ncCZ2ATfa.net

有理数の20乗は有理数になること証明
tan1°は有理数だと証明

27 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:44:10.154 ID:K21M47AXM.net

>>17
それを示せば道がみえてくるのでは
ないだろうか

28 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:44:18.163 ID:TOJxWdT70.net

>>26
結論ありきで好きじゃないけどこうだよな

29 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:44:48.292 ID:tS+mfwHBM.net

>>25
？複素数使えってこと？
>>26
tan1°は無理数だから無理じゃん

30 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:44:54.838 ID:5Ji43JCw0.net

>>26
なるほど

31 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:44:58.304 ID:aMVwUTWS0.net

>>28
証明問題なんて大体結論ありきだろ

32 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:45:16.488 ID:P54GEFnt0.net

tan1゜は無理数だから問題なんだろ

33 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:45:39.334 ID:SKgKA3yG0.net

>>23
有理数は整数/整数で表せるからtan1が有理数ならtan1を累乗しても有理数だろ

34 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:45:50.302 ID:tS+mfwHBM.net

>>27
示し方知ってるけど全然使えないぞ
>>28
>>30
いやだからtan1°は無理数

35 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:47:03.240 ID:tS+mfwHBM.net

>>33
え？
それって結局
tan1°が有理数と仮定したらtan1°は有理数である

以上のことは言ってなくね？

36 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:47:03.490 ID:aMVwUTWS0.net

じゃあもうタンジェント1出しちゃえば？

37 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:47:34.504 ID:tS+mfwHBM.net

>>36
なーる
もう黙って計算しちまえばいいんか

38 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:48:38.430 ID:P54GEFnt0.net

半角の公式使いまくって20乗なくすんじゃね

39 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:48:42.514 ID:KLg5QO7J0.net

sin/cosにするとか？

40 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:49:32.742 ID:ENIW8OTbp.net

まずは簡単にした問題解こうぜ
(tan1°)^2は有理数か？

41 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:49:36.053 ID:aMVwUTWS0.net

>>37
まあつまり>>3が正解だったってわけだ

42 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:50:24.672 ID:tS+mfwHBM.net

>>38
計算ゴリ押しなんかな...
でもとりあえず
tan1°=√(1-cos2°)/(1+cos2°)
だから20乗を10乗にはできるな

>>39
うーん

43 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:52:05.669 ID:tS+mfwHBM.net

>>41
電卓は小数高位打ち切りだから意味ないじゃん
>>40
これならなんとか
(1-cos2°)/(1+cos2°)の無理数性で解けるな

44 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:52:43.343 ID:aMVwUTWS0.net

なあそもそも有理数じゃないんだが
電卓使ったら6.8933348e-36って出たんだがこれ有理数か？

45 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:53:16.421 ID:ENIW8OTbp.net

じゃあ次は(tan1°)^4は有理数か？だな

46 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:53:21.459 ID:tS+mfwHBM.net

>>44
いや問題の意図としては
無理数なら証明しなさい
って意味でしょ

47 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:54:22.193 ID:tS+mfwHBM.net

>>45
もうこっから歯が立たない気がする...

48 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:54:45.692 ID:zGcdrFd8M.net

√以外の無理数は何乗しても無理数ってことでいいんじゃ

49 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:56:11.991 ID:tS+mfwHBM.net

>>48
いやそれは結局tan1°はなんとかの累乗根で書けないことを証明しないとだから意味なくね？

50 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:57:06.250 ID:aMVwUTWS0.net

>>46
ああそうなの？
じゃあ背理法だわ

51 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:58:23.004 ID:rRAbljP1d.net

結論までの過程をもっと大事にしろよ
数学において20乗だのは一度で出すよう作られて無い
必ずと言っていい程前に仮定として条件を導いて繋げるもの

52 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 07:59:25.641 ID:T5MfdMuR0.net

>>46
なんか意図とか言い出してワロタ

53 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:00:13.559 ID:tS+mfwHBM.net

>>51
なーる
>>52
いや京大も同じ文章で無理数だった問題あるし

54 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:01:17.741 ID:ENIW8OTbp.net

(sin1°)^20/(cos1°)^20を変形していったら有理数になったりしないかな

55 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:01:58.178 ID:KLg5QO7J0.net

tan1°と(tan1°)^20を有理数と仮定する
ってやってtan1°が無理数と証明すれば共倒れするんじゃない？
でも√2があるか

56 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:02:13.026 ID:tS+mfwHBM.net

>>54
有理数だったとしたら怖えな...
今までの方法全部パーだわ

57 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:03:18.717 ID:tS+mfwHBM.net

>>55
そうなんよ
反例オンパレード

58 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:06:15.767 ID:tS+mfwHBM.net

あ

59 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:07:34.368 ID:tS+mfwHBM.net

む

60 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:08:10.449 ID:ENIW8OTbp.net

tan1°は代数的数らしいから(tan1°)^20が有理数ってのはありうるな
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/2254_z3.htm

61 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:08:38.081 ID:aMVwUTWS0.net

だから無理数だっつってんだろ

62 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:11:37.741 ID:ENIW8OTbp.net

あーでも最小多項式が45次って事は(tan1°)^20は有理数じゃないな
よかったな

63 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:12:31.604 ID:tS+mfwHBM.net

>>60
まじかあ...
もしも有理数なら実際に計算して示さないとなんかな

64 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:12:40.594 ID:ENIW8OTbp.net

間違えた
最小多項式とは言ってないか

65 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:14:01.618 ID:tS+mfwHBM.net

>>62
いや45次方程式の根になるってだけで最小多項式とは限らないでしょ
例えば

x

66 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:14:34.072 ID:ENIW8OTbp.net

tan1°が満たすべき整数係数の方程式を考えるのが無難かと思う

67 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:14:57.294 ID:ENIW8OTbp.net

>>65
すまんミスに気づいた

68 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:15:18.703 ID:egbh99gRd.net

京大の知ってるのであればまずtan1が有理数と仮定して証明導くまではやって
そこからの話だよな

因みに高校生？大学生？

69 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:15:51.197 ID:tS+mfwHBM.net

途中送信してもうた

x^2-4とか

>>66
なるほど...根となる方程式が具体的に書ければ確かに強いな...

70 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:17:52.517 ID:tS+mfwHBM.net

>>68
大学生だよ

71 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:18:32.827 ID:ENIW8OTbp.net

https://mathtrain.jp/tankahou
この下の方やつ使ってtan45°をtan1°で表したら45次の方程式できるからそれで何とかなるか？

72 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:20:07.872 ID:tS+mfwHBM.net

>>71
おおお
こんなすげー公式があるのか！
ありがとう

73 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:20:35.175 ID:ENIW8OTbp.net

>>72
最小多項式だったらいいな

74 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:22:40.339 ID:0UDra+s50.net

「tan1°は超越数か？」
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/2254_z3.htm

参考にされたし

75 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:22:43.604 ID:tS+mfwHBM.net

>>73
つまり多項式の既約性さえわかれば終わりか

76 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:23:55.354 ID:tS+mfwHBM.net

>>74
既に>>60にあがってるけどもありがとう

77 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:25:44.921 ID:Wm1rnRYc0.net

tan20°を有理数と仮定
3倍角の公式よりtan60°も有理数になるがこれは矛盾

78 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:26:51.950 ID:tS+mfwHBM.net

>>77
tan20°じゃなくて(tan1°)の20乗だよ

79 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:27:19.377 ID:gLg4pN9kp.net

恥ずかしすぎるからROMります

80 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:30:35.711 ID:tS+mfwHBM.net

うーん アイゼンシュタインの定理はどんなに平行移動しようとも使えなさそうだしな

既約性って示すのむずいな

まあそもそも因数分解出来る可能性おおありなんだけども

81 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:33:47.270 ID:0UDra+s50.net

ドモアブルとか何かに使えんかね

(cosθ)^n (1+jtanθ)^n = cosnθ+jsinnθ

82 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:34:05.578 ID:ENIW8OTbp.net

頑張ってるとこ悪いけど答え見つけたわ
まだ読んでないけど
https://m.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/q12139629437

83 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:38:05.303 ID:tS+mfwHBM.net

>>82
おおおおおThx
でもx^n-bが既約って嘘じゃね？
x^3-1とかx^4-16とか

84 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:40:07.415 ID:tS+mfwHBM.net

>>82
やっぱこの方法ダメだよ
既約証明のリンク見たけどアイゼンシュタイン使ってるじゃん
そのためにはbには平方因子が存在しないことを証明しないといけない

85 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:42:05.924 ID:tS+mfwHBM.net

>>81
うーんたしかに
とりあえず今度は複素数でゴリ押すか...

86 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:43:41.407 ID:ENIW8OTbp.net

所詮知恵袋だったか
tan1°,tan5°,tan9°…tan177°が根になるって発想は使えそう

87 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:44:10.651 ID:tS+mfwHBM.net

x^n-bが既約だったらどんなに楽か...

まあでもそれって結局1=0を仮定すればどんな命題も解けるって言ってるようなもんか

88 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:45:24.643 ID:ENIW8OTbp.net

解と系数の関係で定数項見ればいける？

89 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:47:01.508 ID:tS+mfwHBM.net

>>86
おー具体的に根まで分かるんかなるほど
>>88
定数項だけではアイゼンシュタインは使えないと思う...

90 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:49:12.879 ID:ENIW8OTbp.net

すまんよくわからん事言った
重解持たない整数係数方程式の根になるっていうの解けないかな？

91 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:51:22.025 ID:tS+mfwHBM.net

>>90
重根持たないのは大丈夫だと思うけどそれだけでは既約性は厳しいと思う

92 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:53:42.189 ID:ENIW8OTbp.net

(tan1°)^20-r=0なら(rは有理数)なら最小多項式は複素数解を持つがtan1°が満たす45次の方程式は実数解しか持たないので矛盾(その多項式は最小多項式を割り切るから)
これでどうだ？

93 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:55:28.637 ID:ENIW8OTbp.net

複素数解じゃなくて虚数解

94 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:56:48.757 ID:tS+mfwHBM.net

>>92
虚解を持つってのはなんで？

例えばx=2は
x^4=16を満たすけど2の最小多項式は虚数はもちろん持たない

95 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:59:14.187 ID:tS+mfwHBM.net

ほ

96 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 08:59:59.978 ID:hxvNWrhl0.net

>>91
それはキミ一人がそう思っとるだけやでぇ？

97 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 09:01:35.418 ID:ENIW8OTbp.net

>>94
確かに
じゃあtan1°の最小多項式が3次以上なら言えるんじゃね？

98 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 09:05:53.766 ID:ENIW8OTbp.net

>>97
(tan1°)^20-r=0の実数解は2つだからって事な
変な事言ってたらすまん

99 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 09:06:38.751 ID:tS+mfwHBM.net

>>97
つまり
x^n=bかつxの最小多項式が3次以上なら
最小多項式に虚根を持つってこと？

なんか反例が出来そうだけどな...

100 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 09:08:51.236 ID:ENIW8OTbp.net

>>99
x^n-bは最小多項式を割り切るでしょ？
だから最小多項式はx^n-b=0の実数解より多くの実数解を持たないのでは

101 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 09:10:31.589 ID:ZQsOZXQp0.net

有理数と仮定して分数で表す
両辺の対数を考えると何かが見えてきたりこなかったりする
俺から言えるのはここまでだ

102 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 09:10:33.582 ID:tS+mfwHBM.net

>>100
あーそっかなーるほどありがとう

おおおこれは大分進展したな

103 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 09:11:12.730 ID:aMVwUTWS0.net

で答え出た？

104 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 09:17:52.689 ID:tS+mfwHBM.net

整理すると
(tan1°)^20=b (bは有理数)として、
もしtan1°の最小多項式が3次以上だとしてその多項式をf(x)とおけば
x^20-bの実根は2つのみで、
x^20-bはf(x)で割り切れるためf(x)は必ず虚数根を持つ
tan(45°)=g(tan1°)なる多項式g(x)は実根のみより矛盾か

>>103
ID:ENIW8OTbpさんのお陰でもう少し！

105 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 09:17:54.929 ID:ENIW8OTbp.net

tan1°=a+√b(a,bは有理数)か？
って問題に還元できたからもうそろそろできそう

106 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 09:19:25.322 ID:tS+mfwHBM.net

>>105
あーなるほど 3次以上じゃないとすれば確かにそうなる

107 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 09:20:57.851 ID:tS+mfwHBM.net

ってことは20乗に限らず何乗でも無理数が証明できるのか

108 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/05/15(火) 09:27:09.843 ID:tS+mfwHBM.net

うーんここまで来ればなんとか連分数とか使えば解けそうな気もする