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数学の超天才来てくれ

1 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 07:34:50.312 ID:tS+mfwHBM.net
(tan1°)^20は有理数か

これってどうやって解くんだ?

59 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:07:34.368 ID:tS+mfwHBM.net


60 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:08:10.449 ID:ENIW8OTbp.net
tan1°は代数的数らしいから(tan1°)^20が有理数ってのはありうるな
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/2254_z3.htm

61 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:08:38.081 ID:aMVwUTWS0.net
だから無理数だっつってんだろ

62 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:11:37.741 ID:ENIW8OTbp.net
あーでも最小多項式が45次って事は(tan1°)^20は有理数じゃないな
よかったな

63 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:12:31.604 ID:tS+mfwHBM.net
>>60
まじかあ...
もしも有理数なら実際に計算して示さないとなんかな

64 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:12:40.594 ID:ENIW8OTbp.net
間違えた
最小多項式とは言ってないか

65 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:14:01.618 ID:tS+mfwHBM.net
>>62
いや45次方程式の根になるってだけで最小多項式とは限らないでしょ
例えば

x

66 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:14:34.072 ID:ENIW8OTbp.net
tan1°が満たすべき整数係数の方程式を考えるのが無難かと思う

67 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:14:57.294 ID:ENIW8OTbp.net
>>65
すまんミスに気づいた

68 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:15:18.703 ID:egbh99gRd.net
京大の知ってるのであればまずtan1が有理数と仮定して証明導くまではやって
そこからの話だよな

因みに高校生?大学生?

69 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:15:51.197 ID:tS+mfwHBM.net
途中送信してもうた

x^2-4とか

>>66
なるほど...根となる方程式が具体的に書ければ確かに強いな...

70 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:17:52.517 ID:tS+mfwHBM.net
>>68
大学生だよ

71 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:18:32.827 ID:ENIW8OTbp.net
https://mathtrain.jp/tankahou
この下の方やつ使ってtan45°をtan1°で表したら45次の方程式できるからそれで何とかなるか?

72 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:20:07.872 ID:tS+mfwHBM.net
>>71
おおお
こんなすげー公式があるのか!
ありがとう

73 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:20:35.175 ID:ENIW8OTbp.net
>>72
最小多項式だったらいいな

74 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:22:40.339 ID:0UDra+s50.net
「tan1°は超越数か?」
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/2254_z3.htm

参考にされたし

75 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:22:43.604 ID:tS+mfwHBM.net
>>73
つまり多項式の既約性さえわかれば終わりか

76 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:23:55.354 ID:tS+mfwHBM.net
>>74
既に>>60にあがってるけどもありがとう

77 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:25:44.921 ID:Wm1rnRYc0.net
tan20°を有理数と仮定
3倍角の公式よりtan60°も有理数になるがこれは矛盾

78 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:26:51.950 ID:tS+mfwHBM.net
>>77
tan20°じゃなくて(tan1°)の20乗だよ

79 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:27:19.377 ID:gLg4pN9kp.net
恥ずかしすぎるからROMります

80 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:30:35.711 ID:tS+mfwHBM.net
うーん アイゼンシュタインの定理はどんなに平行移動しようとも使えなさそうだしな

既約性って示すのむずいな

まあそもそも因数分解出来る可能性おおありなんだけども

81 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:33:47.270 ID:0UDra+s50.net
ドモアブルとか何かに使えんかね

(cosθ)^n (1+jtanθ)^n = cosnθ+jsinnθ

82 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:34:05.578 ID:ENIW8OTbp.net
頑張ってるとこ悪いけど答え見つけたわ
まだ読んでないけど
https://m.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/q12139629437

83 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:38:05.303 ID:tS+mfwHBM.net
>>82
おおおおおThx
でもx^n-bが既約って嘘じゃね?
x^3-1とかx^4-16とか

84 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:40:07.415 ID:tS+mfwHBM.net
>>82
やっぱこの方法ダメだよ
既約証明のリンク見たけどアイゼンシュタイン使ってるじゃん
そのためにはbには平方因子が存在しないことを証明しないといけない

85 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:42:05.924 ID:tS+mfwHBM.net
>>81
うーんたしかに
とりあえず今度は複素数でゴリ押すか...

86 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:43:41.407 ID:ENIW8OTbp.net
所詮知恵袋だったか
tan1°,tan5°,tan9°…tan177°が根になるって発想は使えそう

87 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:44:10.651 ID:tS+mfwHBM.net
x^n-bが既約だったらどんなに楽か...

まあでもそれって結局1=0を仮定すればどんな命題も解けるって言ってるようなもんか

88 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:45:24.643 ID:ENIW8OTbp.net
解と系数の関係で定数項見ればいける?

89 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:47:01.508 ID:tS+mfwHBM.net
>>86
おー具体的に根まで分かるんかなるほど
>>88
定数項だけではアイゼンシュタインは使えないと思う...

90 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:49:12.879 ID:ENIW8OTbp.net
すまんよくわからん事言った
重解持たない整数係数方程式の根になるっていうの解けないかな?

91 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:51:22.025 ID:tS+mfwHBM.net
>>90
重根持たないのは大丈夫だと思うけどそれだけでは既約性は厳しいと思う

92 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:53:42.189 ID:ENIW8OTbp.net
(tan1°)^20-r=0なら(rは有理数)なら最小多項式は複素数解を持つがtan1°が満たす45次の方程式は実数解しか持たないので矛盾(その多項式は最小多項式を割り切るから)
これでどうだ?

93 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:55:28.637 ID:ENIW8OTbp.net
複素数解じゃなくて虚数解

94 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:56:48.757 ID:tS+mfwHBM.net
>>92
虚解を持つってのはなんで?

例えばx=2は
x^4=16を満たすけど2の最小多項式は虚数はもちろん持たない

95 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:59:14.187 ID:tS+mfwHBM.net


96 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 08:59:59.978 ID:hxvNWrhl0.net
>>91
それはキミ一人がそう思っとるだけやでぇ?

97 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 09:01:35.418 ID:ENIW8OTbp.net
>>94
確かに
じゃあtan1°の最小多項式が3次以上なら言えるんじゃね?

98 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 09:05:53.766 ID:ENIW8OTbp.net
>>97
(tan1°)^20-r=0の実数解は2つだからって事な
変な事言ってたらすまん

99 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 09:06:38.751 ID:tS+mfwHBM.net
>>97
つまり
x^n=bかつxの最小多項式が3次以上なら
最小多項式に虚根を持つってこと?

なんか反例が出来そうだけどな...

100 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 09:08:51.236 ID:ENIW8OTbp.net
>>99
x^n-bは最小多項式を割り切るでしょ?
だから最小多項式はx^n-b=0の実数解より多くの実数解を持たないのでは

101 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 09:10:31.589 ID:ZQsOZXQp0.net
有理数と仮定して分数で表す
両辺の対数を考えると何かが見えてきたりこなかったりする
俺から言えるのはここまでだ

102 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 09:10:33.582 ID:tS+mfwHBM.net
>>100
あーそっかなーるほどありがとう

おおおこれは大分進展したな

103 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 09:11:12.730 ID:aMVwUTWS0.net
で答え出た?

104 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 09:17:52.689 ID:tS+mfwHBM.net
整理すると
(tan1°)^20=b (bは有理数)として、
もしtan1°の最小多項式が3次以上だとしてその多項式をf(x)とおけば
x^20-bの実根は2つのみで、
x^20-bはf(x)で割り切れるためf(x)は必ず虚数根を持つ
tan(45°)=g(tan1°)なる多項式g(x)は実根のみより矛盾か

>>103
ID:ENIW8OTbpさんのお陰でもう少し!

105 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 09:17:54.929 ID:ENIW8OTbp.net
tan1°=a+√b(a,bは有理数)か?
って問題に還元できたからもうそろそろできそう

106 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 09:19:25.322 ID:tS+mfwHBM.net
>>105
あーなるほど 3次以上じゃないとすれば確かにそうなる

107 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 09:20:57.851 ID:tS+mfwHBM.net
ってことは20乗に限らず何乗でも無理数が証明できるのか

108 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/05/15(火) 09:27:09.843 ID:tS+mfwHBM.net
うーんここまで来ればなんとか連分数とか使えば解けそうな気もする

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