数学or物理得意なVIPPER来て

1 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 05:31:24.187 ID:Oabkg7oBH.net

ある体積のものを積分するために無限小に分割することを考えたとき無限小の球に分割してもいいの？
あるいは無限小の球と無限小の立方体って同じとみなしていいの？

2 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 05:31:58.158 ID:TceqYWxA0.net

焦って朝に宿題か？

3 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 05:33:35.380 ID:Oabkg7oBH.net

宿題とかではないんだが一晩中悩んでこの疑問に行き着いた

4 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 05:34:09.561 ID:E7MTRdDl0.net

自分もよくわかんないけど隙間あるの大丈夫なのかな
あと軸を取るのが面倒くさそう

5 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 05:36:19.830 ID:eXoRhQIU0.net

同じじゃないよぉ
dxdydzが四角
drdωdθが球の皮
ちゃんと意味がある

6 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 05:39:06.825 ID:B413e+G70.net

積分は四角や立方体の積み重ねで定義されてるから勝手に球にしたら駄目

7 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 05:39:50.854 ID:Oabkg7oBH.net

一応疑問の起こりを説明しておくと電磁気で連続的に分布した電荷のdivergenceを計算するときにでてきた。
点電荷を定義するときに球体一様な電荷のr→0の極限で単位電荷密度使ってδ関数を定義したんだが、そのδ関数を一般的な体積の積分に使った部分。
わかりにくくて済まんが>>4がいうように隙間がありそうで。ってか立方体と球の体積比較して極限とって評価すればいいのか・・・？

8 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 05:42:38.761 ID:orvsaJAZM.net

よくわからんがdxdydz=rsinθdrdθdφだから違うだろ

9 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 05:44:52.315 ID:Oabkg7oBH.net

一部勘違いが発生しているようだけど球を分割するんじゃなくてある体積を無限小の立方体と球体で埋め尽くしたら同じかってこと。違うみたいだけど・・・
あと球の皮ならsinθ(ω？)抜けてるぞ

10 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 05:45:26.746 ID:Oabkg7oBH.net

あ俺もr抜けてた

11 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 05:46:40.704 ID:B413e+G70.net

球の詰め方も複数通りあるけど

12 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 05:49:14.370 ID:Oabkg7oBH.net

普通に考えてどんなに細分化してもその割合だけ隙間あくよなあ

13 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 05:58:34.246 ID:IXWw1tVP0.net

厳密に考えたいならまず区分求積で考えて
隙間の部分の体積を不等式とかで評価して
n->∞の極限で0に収束するか確かめればいい

14 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 06:04:25.203 ID:Oabkg7oBH.net

うーんでも結果は見えてるからなー・・・。
詰め方工夫って言ってもそんなことしてる感じもしないしもうちょっと考えてみる。

15 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 06:13:20.492 ID:bf7xgpAS0.net

デルタ関数を積分してるからと言って球を足しあわせてるんけじゃない

16 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 06:17:20.841 ID:orvsaJAZM.net

お前のせいで俺もすごい気になってきたじゃねーか氏ね

17 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 06:24:00.800 ID:Oabkg7oBH.net

>>15
ここではδ関数を球体電荷の半径無限小から定義してる。
それで形としてはありのままかくと
δ(x→)＝lim(V→0)δ'(x→)
でδ'(x→)＝(1/V)*θ(a-r)
ここでaが球の半径Vが球の体積になってる。
ここまではよしとして、その後に一般的な閉曲面内の体積積分の中にこのδ関数が出てくる。

18 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 06:28:29.359 ID:bf7xgpAS0.net

>>17
定義の仕方はどうでもいい
δ(x)dVを足すのが積分
足してるのは球じゃなくて体積dVの微小体積要素

19 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 06:31:40.695 ID:E7MTRdDl0.net

>>16
ほんとこれ

20 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 06:34:54.773 ID:Oabkg7oBH.net

>>18
まあそうなんだが言葉足らずだった。やらんとしてることはわかるんだ。
めんどいからベクトル表記省くけど、ある位置xでの微小体積要素での値を足し合わせろということはわかる。
だが計算するときに積分の中が格子状に切り出した？微小体積をδ関数で定義した微小球体積で割っているかたちになってしまう。

21 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 06:36:24.343 ID:Oabkg7oBH.net

教科書の画像挙げたほうがいいかな？あまり気は進まないけど

22 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 06:42:55.556 ID:bf7xgpAS0.net

>>20
言ってることがよく分からんな
仮にそうだとして何が問題なのかも分からん

23 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 06:44:06.258 ID:bIfUZZNN0.net

直感的には体積要素として半径無限小の級をとってしまうとどうしても隙間ができてしまうことは明らか
ただ、 >あるいは無限小の球と無限小の立方体って同じとみなしていいの？ については、
体積要素内においてはどの物理量も一定であるとしてしまうわけだから
体積(dl)^3の立方体を体積4π(dr^3)/3=(dl)^3の球体に置き換えてもそこからの積分で得られる結果に違いは生じないはず
だからなんだという話ではあるが

24 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 06:48:29.985 ID:bIfUZZNN0.net

というか体積要素って3つの独立変数をそれぞれ偏微分的に動かした時に貼られる立体の体積なわけだから
半径無限小の球体がそこかしこに詰まっているという描像自体がありえないものだろうな

25 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 06:51:25.366 ID:Oabkg7oBH.net

http://iup.2ch-library.com/i/i1430223-1430948837.jpg
http://iup.2ch-library.com/i/i1430224-1430948837.jpg
http://iup.2ch-library.com/i/i1430225-1430948837.jpg

この最後のページ最上の式変形がわからない
あと>>23の微小要素内物理量一定の件詳しく聞きたい

26 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 06:52:23.873 ID:FXl5jRIy0.net

物理屋かよ
重積分のページ詳しく読んだらいいんじゃねえの？

27 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 06:55:13.793 ID:Oabkg7oBH.net

関係ないけど物理屋って響きめちゃくちゃ苦手

28 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 06:56:52.292 ID:bIfUZZNN0.net

>>25
例えば電荷が連続分布した物体の総電荷を求めるときに、位置ベクトルをrとして
Q=∫ρ(r)dV
というような計算をすると思うけど、これ何故にρ(r)と体積素dVとが掛け算になっているかと言うと
dVの中では全て電荷密度ρが一定だとみなせるからだよね？

29 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 06:57:44.572 ID:FXl5jRIy0.net

>>27
ごめんねネットでみてなんか使いたくなった

30 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 06:58:34.482 ID:mQ7F8D65M.net

量子化学で見たな、玉の積分

31 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:00:17.117 ID:Oabkg7oBH.net

>>28
おうせやな

32 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:00:39.437 ID:bf7xgpAS0.net

>>25
分子のVはステップ関数の積分から出てきた体積で
分母のVはデルタ関数の定義式のVだろ
何が分からないのか分からない

33 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:01:24.143 ID:Oabkg7oBH.net

>>29
ええんやで
これが案外自称する教授が多い

34 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:01:46.028 ID:bIfUZZNN0.net

>>25の2枚目最後の式から3枚目最初の式の最右辺までの式変形は
ごちゃごちゃ言わずとも「デルタ関数の性質」だけで済む話だと思うんだが

この積分は体積要素の形は関係ないぞ

35 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:02:30.315 ID:FXl5jRIy0.net

>>33
つかぬ質問だけどおまえは理学部？
俺数学大好きなのに色々やらかして工学部来ちゃって云々でちょっと聞きたいことあるんだけどいいかな

36 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:03:02.701 ID:Oabkg7oBH.net

>>32
すまん詳しく教えてくれ

37 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:04:37.967 ID:Oabkg7oBH.net

>>35
まあFだから理工学部ていうけど学科的には理学部

38 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:06:12.888 ID:FXl5jRIy0.net

>>37
他は知らんけど早稲田と明治は理工学部って言うだろ
工学部から理学部の院っていけんのかね

39 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:07:37.337 ID:bIfUZZNN0.net

>>38
横レスだが院試に受かりさえすれば工→理だろうが理→工だが普通に行けるぞ
特に物理系は割と理と工で垣根が低いから実際そういう進路をたどっている奴も割と多い

40 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:07:45.475 ID:bf7xgpAS0.net

>>36
lim(1/V)ρ(x)∫dV'θ(a-r')=lim(1/V)ρ(x)V
これだけなんだけどどこが分からないか言ってくれないと教えようがない

41 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:08:38.178 ID:Oabkg7oBH.net

>>34
うーんよくわからん。。
積分外すところがわからんです。

42 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:08:56.034 ID:FXl5jRIy0.net

>>39
いや物理的にじゃなくて工学部生（？）が普通に考えて院試で理学部生にかてるのかなって
あと俺は数学かいきたいの

43 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:09:52.170 ID:bf7xgpAS0.net

>>36
すまんaじゃなくてxだった

44 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:10:04.610 ID:LoBAU4hz0.net

ねむい  
 
 


45 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:10:27.293 ID:bIfUZZNN0.net

>>42
んなのお前次第だよ　普通もクソもない
ちなみに地底の数学科から東大の情報に院進した人なら知り合いにいる

46 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:11:03.371 ID:Oabkg7oBH.net

>>40
その頭のVって球体体積じゃないの？

47 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:12:23.137 ID:FXl5jRIy0.net

>>45
京大落ち地元の地底の一個下→京大数学科
目指しだけどいけるかなあ・・・
一応ネットで院試探してやってみたりしてるけど
なにはともあれありがとう

48 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:13:08.458 ID:bf7xgpAS0.net

>>46
その通り
積分で出てきたVもθの積分から出てきたものだから同じもの

49 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:13:08.759 ID:bIfUZZNN0.net

>>41
結局これはこの教科書がデルタ関数の定義をあやふやにしているところに問題があるんだと思う
「x=x'付近のみで値を持つから」なんて言い回しは実に怪しい

ちょっと「デルタ関数」でググってみてくれ　
「この教科書がやってるような式変形を満たすような関数」をデルタ関数として定義しているはず

50 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:14:20.740 ID:E7MTRdDl0.net

>>42
物理の場合は実験系なら余裕、理論系は難しいと思う

数学も研究室によるんじゃないかな

51 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:14:44.960 ID:Oabkg7oBH.net

>>48
なるほどまだ理解はしてないけどいけそうだは。サンクス。考えてみる。

52 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:16:23.641 ID:bIfUZZNN0.net

「x=x'付近のみで値を持つ」んじゃなくて「x≠x'では値は常に0」なんだよなぁ
まぁ俺も数学専攻じゃないからあまり超関数とかのむつかしいことには突っ込めないが

53 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:19:08.796 ID:Oabkg7oBH.net

>>49
δ関数の定義はそのポイントの値だけ引っこ抜くのが定義だと思うがこの本は物理方面からアプローチしてるからこんな表現になってるんだと思う。
理解してないあ俺がいうのもあれだが、この物理的に表れたδ関数らしきものが数学と同等に処理できる(等価はここでは言い過ぎ？)ことを言ってるんじゃないかな。

54 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:21:38.240 ID:Oabkg7oBH.net

>>47
お前が何年か知らないが俺も院試組だぜ・・・
今も研究室に泊まって勉強してたorz

55 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:24:00.176 ID:uVKWtZNu0.net

開球がどうのこうの

56 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:24:38.139 ID:Oabkg7oBH.net

>>48
すまんステップ関数の中身ってどうなるんだ？

57 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:24:50.160 ID:bf7xgpAS0.net

デルタ関数の定義は色々あってこの本のやり方でも問題ない
ρを積分の外に出すところはもっと厳密にするならx'=xまわりでテイラー展開して最低次のρ(x)は外に出す
O(x-x')のオーダーは残したまま計算して最後の極限で消す方がいい

58 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:24:58.573 ID:FXl5jRIy0.net

>>50
完全純粋数学だ

>>51
こんなこといっといて俺完全一年
院試はまだ先の話だからゆっくり考える

59 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:27:47.563 ID:bf7xgpAS0.net

>>56
極座標で
θ(a-r)=1 (0≦r≦a)
θ(a-r)=0 (r＞a)

60 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:28:42.209 ID:bIfUZZNN0.net

>>53
うん、だからそういう中途半端なアプローチのおかげで「積分外すところがわからん」ようになっちゃってるんじゃないのという話
これは「ある体積Vの中にのみ単位電荷が存在しているから、全空間で積分したとしてもその領域の外での
積分値は全て0になってしまって結局生き残るのは体積Vの中身のみ」と言っているわけだ

61 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:29:12.296 ID:Oabkg7oBH.net

>>59
上でaじゃなくてxだったてきなあれは・・

62 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:33:29.969 ID:bf7xgpAS0.net

>>61
この本の表記に従ってベクトルで書けばx
要は位置ベクトルxからの距離|x-x'|の内側が1ってこと

63 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:34:42.126 ID:orvsaJAZM.net

>>1には申し訳ないんだけどついでだから質問させて
数学書でspecify logarithmって出てきたんだけどどういう意味か分かる？

64 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:35:34.264 ID:Oabkg7oBH.net

>>60
うーーん議論してない他所から定義を持ってくるのは乱暴じゃないか？
ここで求めたいものを計算する過程ではδ関数らしきものが論理的に必要だったわけだし

65 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:35:54.198 ID:bf7xgpAS0.net

>>61
あー確かにaをxに変えるならrも変えないとな
すまん

66 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:37:04.268 ID:bIfUZZNN0.net

>>64
いやだから>>60は2行目からはこの教科書流の定義に沿った説明をしているわけだが
積分を外すところがわからないんだろ？　その式変形の心を>>60で言ったつもりなんだけど

67 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:39:43.584 ID:bIfUZZNN0.net

理学や工学ではこんな感じである有限の幅、面積、体積を持った領域をまず考えて、
その領域での積分値が一定に保たれるように、その領域を無限小に小さくすることでデルタ関数を導入するね

68 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:41:44.194 ID:Oabkg7oBH.net

>>65
サンクス考えてみる。
>>66
そうかすまんかった。理解が及んでないもんで。

もう一つ聞きたいんだがここではdV'って格子状に張られた微小要素って考えていいの？あとで混乱しそう・・

69 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:44:12.724 ID:bIfUZZNN0.net

んで繰り返しになるがこのデルタ関数の定義における極限操作と、
>>1に書かれている微小体積要素の形は関係ない

デルタ関数の定義においては単に球体なり立方体なりの適当な立体を1つだけ考えてその体積を無限小に飛ばしているだけ
>>1がスレ序盤であーだこーだ言ってたのは有限の大きさの物体をどうやって無限小の物体（体積素）に分割するか、って話だったけど

70 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:45:17.672 ID:Oabkg7oBH.net

こんなに教えてもらって申し訳ないがステップ関数の積分のところがわからない

71 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:48:25.835 ID:bIfUZZNN0.net

>>68
別に体積素の形はなんでも構わない
少しややこしいんだが、(2.34)の式変形においてはとりあえず体積Vは有限の大きさとしていて、
その有限の体積Vを持った領域を積分変数x'によって無限小に分割することで積分を行なっている

72 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:49:05.484 ID:Oabkg7oBH.net

あああ計算上はわかった！まだ何をやってるかはわかってないけど

73 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:50:05.975 ID:bIfUZZNN0.net

>>71の意味わかった？

74 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:50:13.552 ID:Oabkg7oBH.net

ステップ関数のa,rをx,x'に置き換えられるのはなぜなんや・・・？

75 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:50:48.428 ID:tSzk4Iat0.net

高次元ならいけるかも

76 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:52:48.989 ID:Oabkg7oBH.net

ーーーーーー少し考え中ーーーーーー

77 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:53:02.582 ID:bf7xgpAS0.net

真面目に書くなら
∫dV'δ(x-x')〜∫drdθdφr^2sinθθ(a-r')=V

78 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:56:02.064 ID:bf7xgpAS0.net

>>74
素朴にそう書き換えるっていう意味じゃない
というか半径|x-x'|内だけ重み1でそれ以外0なんだか、計算しなくても積分したら半径|x-x'|の球の体積になることは分かるだろ

79 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 07:56:49.442 ID:bIfUZZNN0.net

そろそろ本当に何がわからないのかわからなくなってきた

80 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 08:02:20.415 ID:Oabkg7oBH.net

単純に考える時間が必要かもしれん。
今日間違いなく夜十時きっかりにスレ立てるからそこで発表してもいい？
一限あって時間がないんだ。考えるヒントは十分もらったと思う。ありがとう

81 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 08:02:29.274 ID:bIfUZZNN0.net

今日10時半に起きなきゃならんからとっとと解決してくれ眠れん

82 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 08:03:06.603 ID:bIfUZZNN0.net

あーそうか　よしよしそうしてくれ　おつかれさん

83 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 08:03:43.708 ID:Oabkg7oBH.net

さんきゅう！

84 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 08:04:12.761 ID:E7MTRdDl0.net

真面目そうな>>1がんばれ
待ってる

85 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2015/05/07(木) 08:05:08.558 ID:bIfUZZNN0.net

あーもう下手に頭が冴えて眠れんわ　もう俺はこのスレと共に心中します　ありがとうございました