知らない人向けに連続体仮説の話をしようと思う

1 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 00:58:37.737 ID:EuxRtaoI0.net

需要あるかな？

「連続体仮説」とは、(普段我々が考えている数学において)「証明も反証も出来ない」という、いわゆる「独立命題」の中でも最も有名な命題
(「普段我々が考えている数学」という曖昧な表現を用いたけど公式には「ZFC公理系において」という意味。あくまで知らない人向けなのでこの辺はあまり気にしない方針で)

2 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 01:09:19.380 ID:EuxRtaoI0.net

まず集合という概念がある
集合をきちんと説明するとやはり公理に触れなければならないので今回は集合とは数の集まりだと思ってもらえれば良い
例えば1,3,5を要素とする集合は{1,3,5}みたいに書ける
ただし{(0,1),(2,3),(4,5)}みたいに数ベクトルを要素として持つような集合もあるのでその程度は認識してもらいたい
そういう広い意味での「数」の集まりが集合になるという話

3 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 01:10:34.419 ID:PsWyYl6p0.net

つまりおっぱいは柔らかいってこと？

4 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 01:20:40.209 ID:EuxRtaoI0.net

代表的な集合にはそれを表す慣例的な記号がある
例えばZ:整数 N:自然数 R:実数 C:複素数など
集合に関する論理記号で「∈」と「⊂」がある
a∈AとはaがAの要素であることを意味する(例:2∈{1,2,3})
A∈BとはAのどの要素もBの要素になっていることを意味する(例:N⊂Z)　
ちなみにA⊂Bのとき、AはBの部分集合であるという

5 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 01:34:46.585 ID:EuxRtaoI0.net

集合のかなりザックリとした説明をしたところで早速集合の濃度の話をしたいのだがその前に一つ
写像という概念がある
これは集合の要素を別の集合の要素に対応させる概念で、例としては
写像f:Z→R f(x)=x/2という写像がある
これはZの要素(つまり整数)xをRの要素(つまり実数)x/2に対応させる写像である
特に、実数に対応させる写像を(実)関数という
つまり例に挙げたfは関数ということもできる

ここで全射という概念を定義したい
f:A→Bが全射であるとはBの任意の要素bに対してAのある要素aが存在してf(a)=bとなることである
つまり飛んだ先の集合のどの要素も埋め尽くされるような写像が全射ということ
全射の例としては
f:R→R f(x)=x
f:Z→N f(x)=|x|
など

6 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 01:40:16.862 ID:EuxRtaoI0.net

うーん需要無いんか…

7 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 01:45:01.359 ID:c5/T5/D1a.net

難しい

8 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 01:45:33.182 ID:7fucAZ2n0.net

さっさと書けよ

9 ：キチガイ資産破壊完了！煽ってやらせて討つ！ストーカー新宿古着屋自滅倒産方程式！ｱｰ潰れたわ♪大爆笑：2016/05/17(火) 01:46:01.633 ID:3vL81opAd.net

842 ノーブランドさん 2016/02/05(金) 01:47:30.68 ID:X9x9Y/Da0
>>840
というかここのキチガイ古着屋の精神病なんて典型的なただの甘え
自分の人間関係すら自分で解決する能力すらなく2ちゃんで発狂するだけの毎日
この程度のバッシングにいちいち反応してる時点で経営者としての才能もなし
コイツがユニクロやGAPの社長だったら今頃とっくに発狂して首吊ってんだろうよ
むしろその方がいいのかもしれんがｗ

847 ノーブランドさん 2016/02/05(金) 02:07:55.72 ID:M1qNz9FK0
>>842
いやもうどうでもいいわ
キチガイに人間的感情は全くわかない
あとは早く社会から抹殺されてほしいとしか思わないな
それも半分どうでもいいがな

852 ノーブランドさん sage New! 2016/02/05(金) 03:24:44.50 ID:新 宿古 着屋
あちこちコピペ貼ってんじゃねぇよ糞ゴミ
お前の私怨に誰も興味ないしそもそも読まれてすらいねぇ糞馬鹿野郎
キチガイが専門板から出てくんな死ねゴミ

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10 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 01:47:44.779 ID:kMjyzcAia.net

>>9が論破した

11 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 01:49:40.283 ID:ARF3oXPwa.net

>>1で括弧書きに注釈つけ始めた時点でそっ閉じ

12 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 01:53:22.119 ID:H0UfhlXCK.net

需要はありそうだし興味あるけど知らない人向けになってんのこれ
て感じだからなんも言えねぇ
つまりさっぱりわからん

13 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 01:57:01.140 ID:ARF3oXPwa.net

つーか道具用意する途中で止めておきながら需要もクソもあるか

14 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 01:59:00.329 ID:EuxRtaoI0.net

ごめん、やっぱり単射も定義する
写像f:A→Bが単射であるとは、任意のa,a'∊Aがa≠a'ならばf(a)≠f(a')が成り立つことをいう
つまり異なる要素を飛ばしたら必ず異なるところに飛ぶ写像が単射
単射の例:f:R→R f(x)=2x
非単射の例:f:R→R f(x)=x^2

そして全射かつ単射であるような写像を全単射という
全単射の例:f:2Z(偶数)→Z f(x)=x/2

15 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 02:00:40.963 ID:EuxRtaoI0.net

>>12
分からないところがあればどんどん言ってくれ

16 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 02:00:58.743 ID:H0UfhlXCK.net

知らない人向けに説明するときは中学生にも伝わるように書かないと厳しくね？
まあがんばれ

17 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 02:11:54.462 ID:EuxRtaoI0.net

>>16
一応中高生向けに書いてるつもりだがまあ雰囲気だけでも感じ取ってほしいのよ



集合の濃度の話
集合Aの濃度を|A|と表す
濃度は集合間の写像的関係の尺度と考えてもらえればいい
濃度それ自体は何なの？と訊きたくなるかもしれないが今回はあくまで濃度は比較することに
意味があるのであって濃度それ自体の意味については触れないつもり
順序数などが出てきて逆にややこしくなるので
で、集合Aから集合Bへの全単射が存在することを|A|=|B|と表す
(集合Aの濃度と集合Bの濃度が等しいという式)
集合Aから集合Bへの全射が存在するとき|B|≦|A|と表す
(集合Bの濃度は集合Aの濃度以下であるという式)
もちろんBがAの部分集合であれば|B|≦|A|となる
特に集合AからBへの全射が存在し、かつ全単射が存在しない(全射は作れるが単射にはならない)とき、|B|＜|A|と表す
(集合Aの濃度は集合Bの濃度より大きいという式)

18 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 02:14:47.912 ID:EuxRtaoI0.net

例としては

A={1,2,3,4}
B={5,6,7,8}なら
|A|=|B|

A={1,2,3,4}
B={5,6,7}なら
|A|>|B|

19 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 02:17:59.953 ID:CeiEkElZ0.net

面白そうだけど写像でリタイアした

20 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 02:23:03.463 ID:EuxRtaoI0.net

>>19
関数の拡張だと思えばいい

21 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 02:25:25.935 ID:CeiEkElZ0.net

よくわからんまんま濃度まで読んだらなんとなくわかった気になってきた

22 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 02:26:33.552 ID:EuxRtaoI0.net

ちなみにf:2Z→Z f(x)=x/2が全単射なので偶数と整数の濃度が等しいこともわかる
よく聞く「整数の個数と偶数の個数は同じ」というのは実はこの議論から来ている
もちろん上の言明は偶数を奇数と置き換えても正しい

23 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 02:27:40.166 ID:CeiEkElZ0.net

等しいこともわかる←わからない

24 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 02:30:54.849 ID:EuxRtaoI0.net

>>18を見てもらえばわかる通り、有限集合(要素の個数が有限個の集合)の濃度比較は超簡単
単純に要素の個数を比較すればいいだけなので
逆に言えば無限集合(要素の個数が有限個ではない集合)同士の濃度比較は面倒
ちなみに有限集合から無限集合への写像が全射になるはずがないので有限集合の濃度は必ず無限集合の濃度よりも小さい

25 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 02:33:01.008 ID:EuxRtaoI0.net

>>23
6→3
4→2
2→1
0→0
-2→-1
-4→-2
-6→-3

みたいな対応考えれば偶数と整数が1対1に対応する(全単射になる)から濃度は等しいよねって話

26 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 02:34:44.728 ID:CeiEkElZ0.net

>>25
なるほどなこれはわかったわ完全に理解した

27 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 02:36:19.109 ID:Kt+sm2D60.net

とりあえずおまえが絶望的に他人にものをわからせるのが下手なのはわかった

28 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 02:52:28.258 ID:EuxRtaoI0.net

で、今言った無限集合と無限集合の濃度比較だけど、
N(自然数)の濃度とR(実数)の濃度はどういう関係になってるの？っていう話がある
N⊂Rなのに明らかにNの濃度がRの濃度よりも大きくなることはないが、
ではNの濃度はRの濃度より小さいの？あるいは同じなの？どっち？っていう議論はなかなか難しい
カントールはこれを対角線論法という手段を用いて解決した
もしNからRへの全射fが存在するとする
すると任意の実数yに対してある自然数nが存在してf(n)=yとなる
ここで、
f(0)の小数部分を0.a0(1)a0(2)a0(3)…a0(n)…
f(1)の小数部分を0.a1(1)a1(2)a1(3)…a1(n)…
f(2)の小数部分を0.a2(1)a2(2)a2(3)…a2(n)…
…
f(n)の小数部分を0.an(1)an(2)an(3)…an(n)…
…
と表示すると
bm(n)=am(n)が奇数なら2,偶数なら1というようにbm(n)を全ての自然数m,nに対して定めると
0.b1(1)b2(2)b3(3)…bn(n)…
という実数はどのf(n)とも小数第n位の偶奇が異なるので、これはfが全射であることに反する
だいだいこういう流れでカントールは自然数の濃度が実数の濃度よりも小さいことを示した

29 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 03:06:01.921 ID:EuxRtaoI0.net

さて、Nの濃度がRの濃度よりも小さいことを示したわけだが、そうすると今度は
「Nの濃度よりも大きくてなおかつRの濃度よりも小さい集合ってあるの？」という話になる
言い換えると「NとRの中間の濃度を持つ集合は存在するのか？」ということだが、
実はこれこそが連続体仮説(通称CH)である
すなわち、連続体仮説(CH):(Nの濃度)<(Xの濃度)<(Rの濃度)を満たす集合Xが存在する

>>1で書いた通り、一見数学者が頑張れば証明(あるいは反証)できそうなこの連続体仮説だが、
我々が普通に用いている数学(ZFC公理系)では証明も反証も不可能であること(独立性)が示されている
数学のグレーゾーンを突く神秘に満ちた命題である

30 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 03:22:17.808 ID:EuxRtaoI0.net

一応CHのような有名な独立命題があるということを知ってほしくて書いたので
説明はここまでにしたいと思います
まあこの後カントールの定理の話をして連続体仮説よりも強い主張である一般連続体仮説(GCH
にちょっと触れても良かったのですがそろそろ眠くなってきたのでやめときます
見てくれた方はありがとうございました

31 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 03:24:35.295 ID:a0bc8Vhhd.net

有理数の集合とかじゃだめなの?

32 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 03:25:33.549 ID:EuxRtaoI0.net

>>31
有理数の集合は自然数の集合と濃度が等しいからアウト

33 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 03:26:03.541 ID:DLwvQKU/K.net

映画化決定

34 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 03:27:16.997 ID:ahgzdxi60.net

数学にはよく「無限」ってのが出てくるけど
これはどういうイメージで捉えればいいの？
形而上学的（アリストテレス、カント、ヘーゲルなど）には無限は存在しないといわれているよね

35 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 03:32:47.127 ID:EuxRtaoI0.net

>>34
もちろん無限を認めない有限主義者もいるけどそれだと数学的にはあまり深みは無いし数学者の殆どが無限は認めてる
ただ∞という数を認めているわけでは無く、ZFCの無限公理を見れば分かるが例えば
「任意の自然数を要素に持つ集合」の存在がZFCにおいて保障されている(ふつうはこれをωと表す)
このように要素の個数が有限でないってことを無限と捉えるのが集合論での解釈であり、もっと言えば数学の解釈になってる

36 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 03:36:01.962 ID:ahgzdxi60.net

「永遠に続く」というイメージではなく「非・有限」という簡素な見方でいいってことかな・・・
うーん
数学は理解し辛い

37 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 03:37:38.347 ID:a0bc8Vhhd.net

濃度って数値化できないの?

38 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 03:46:40.575 ID:EuxRtaoI0.net

無限の話の続きだけど高校で極限を習ったときに∞が出てきたよね？
lim(x→∞)1/x=0みたいなのがあったと思うけど
そもそも∞って何だよよくわからんって話になって大学に入るとε-δ論法で
極限の数学的に厳密な定義を習うわけだけど今の例だと
任意のε>0に対してM>1/εなるMをとればx>M→|1/x-0|<εとなるのでlim(x→∞)1/x=0
って感じで無限極限の定義に一切無限が出なかったよね
つまり「〜は無限である」っていう曖昧な表現を避けて代わりに「〜はどんな実数よりも大きい」
っていう言明としては明瞭な定義で扱うことによって現代数学は無限の曖昧さを克服してる
もっと言えばこの数の大小も順序数の要素関係に帰着できるから結局は集合論の解釈としての
無限が基になってるわけだけれども

39 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 03:47:15.597 ID:844pxdkH0.net

需要って言葉の定義から調べ直してこい

40 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/05/17(火) 03:52:56.356 ID:EuxRtaoI0.net

>>36
うん、定式化するうえでその方が断然都合が良い

>>37
できる
>>17にも書いた通りCHの話をするだけなら逆にややこしくなるから数値化はしなかったけど
有限集合の場合は単純に要素の個数が濃度の値になる
例えばA={1,2,3}なら|A|=3
無限集合の場合だけどこの場合はその前に基数を定義する
基数ってのは順序数っていう自然数の拡張みたいのがあってその中で各濃度の代表として
順序が最小のものをそれぞれとってきて集めたもの
Aが無限集合なら|A|=(Aと濃度が等しい基数)って定義して数値化(順序数化)されてる