お前らが絶対に解けない数学の問題考えたからやってみろよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

1 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:49:11.841 ID:SEaRefxZ0.net

全ての自然数nに対して数列{a[n]}を以下のように定義する
a[1]=a[2]=1,a[n+2]=a[n+1]+a[n]
このとき、a[n]の文字列に「0」が1000個連続して並ぶような自然数nが存在することを示せ




お前ら解けるか？ｗｗｗｗｗ

2 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:49:49.047 ID:D/2IHq1G0.net

2

3 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:50:18.588 ID:akxsv+Ota.net

3

4 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:50:51.106 ID:Gc8eCohJ0.net

0000....00001

5 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:50:52.779 ID:8KrWpxzB0.net

4

6 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:51:33.031 ID:SEaRefxZ0.net

>>4
それは無しｗｗｗ

7 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:51:50.696 ID:8llXR3J/0.net

a［n］って何

8 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:52:20.126 ID:SEaRefxZ0.net

>>7
第n項

9 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:53:01.531 ID:RpqW4Bp5d.net

それは無しってなんなん

10 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:53:07.580 ID:bm3XWJVa0.net

微分積分なら任せろ

11 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:53:29.095 ID:drKy5mDF0.net

どうやって証明するの？mod？

12 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:53:33.596 ID:4uSinwrS0.net

簡単すぎて答える気にすらならない
大学生に1＋1は？って聞いてまともに返答してもらえると思ってるの？
もはやそういう次元に到達してしまっているのね

13 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:54:01.601 ID:SEaRefxZ0.net

>>9
いや、自然数の「1」を「000000001」とか表記するのは屁理屈だろ

14 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:54:36.427 ID:8llXR3J/0.net

>>8
じゃあこれただのフィボナッチじゃん
フィボナッチなのでいつかは出る
QED

15 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:55:19.206 ID:SEaRefxZ0.net

>>10
関係無いんだなぁ…

>>11
俺が考えた解答だと合同式は使わんけどもしかしたらそういうアプローチもあるかもな

>>12
か…かっけぇｗ

16 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:56:35.433 ID:SEaRefxZ0.net

>>14
うん、フィボナッチだよ
でもそう書くと分からん奴もいるだろ
ちなみにフィボナッチならいつか出るとか全く証明になってないぞｗｗｗ
フィボナッチならいつか出ることを示せっていう問題だからなｗｗｗ

17 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:56:51.995 ID:LoBiOIKV0.net

χ
はい正解だろ

18 ：NGぶち込んどくわ ◆KdrRiJSvps ：2016/09/25(日) 16:57:05.554 ID:NuSztXfmp.net

示せとあるので示せることが明確である
よって存在する
証明終わり

19 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:57:56.884 ID:8llXR3J/0.net

>>16
うるせえチンカス
こういう場で問題出すときは暗算で解けるようにしろって教わらなかったのかよしね

20 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:59:12.749 ID:wkvECgJ40.net

対偶使えば1発だろぼけ

21 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:59:22.183 ID:SEaRefxZ0.net

>>19
出来る奴は頭の中で証明完結するんだよなぁ

22 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 16:59:32.655 ID:KtE0v0bCa.net

キッズ達には難し過ぎて解らないと思うよ

23 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:00:12.396 ID:SEaRefxZ0.net

>>20
逆に難しくなるだろｗｗｗ

24 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:01:34.485 ID:drKy5mDF0.net

わからん答えはよ

25 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:02:19.365 ID:afxZY1XrM.net

χ
はい正解だろ
http://imguse.net/PZDJ4KTQO.gif

26 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:02:48.743 ID:8llXR3J/0.net

>>21
出来る奴(特殊能力レベルの頭脳)とかじゃないだろうな
答えはよ

27 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:03:39.413 ID:SEaRefxZ0.net

一応補足しておくけど別に1000個ピッタリじゃなくてもいいんだぞ
10000個だろうが10000000個だろうがオーケー

28 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:04:17.063 ID:0oiSV9Ml0.net

解けたけどここに書くには空白が足りない

29 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:04:28.830 ID:xSslFA6V0.net

単調に増加する無限数列で全ての項が自然数だからどっかで存在するんじゃね

30 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:04:32.129 ID:PahY/pS5M.net

>>27
補足っていうかそれだと問題文間違ってる

31 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:06:26.641 ID:AOEeSPRZ0.net

1.00000000000000000000000...

32 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:06:41.855 ID:Co7+FQ1xM.net

落ちる前に答えかいてくれ

33 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:07:11.740 ID:SEaRefxZ0.net

>>30
そう感じたならごめん書き方が悪かった
1000個以上って書くべきだったな
f(x)=sinxはC^∞級だけどC^100級であるって言っても命題としては真だろ？
そういう感覚で書いたんだけど紛らわしかったね

34 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:07:41.590 ID:OAH6Ighp0.net

これは俺らが絶対に解けない問題だと明記されている
ゆえに解けないことは自明である
以上、証明おわり

35 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:07:57.641 ID:SEaRefxZ0.net

>>32
もうちょいまともに考えてくれる人が来たら書く
ちょくちょくヒントも出してくよ

36 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:08:33.553 ID:8llXR3J/0.net

問題文は別に間違ってないよ
どうせこの辺でスレも打ち止めなんだからさっさと頭の中で完結する簡単で華麗な解答はよ

37 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:09:53.447 ID:OAH6Ighp0.net

私も問題文に「以上」が無くても間違いではないと思います

38 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:10:11.484 ID:oUCxEldZd.net

そんなこと証明しても社会には何の役にも立たないんだよな

39 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:10:50.504 ID:qLVN/Aop0.net

正規数とかの話？
でも正規数だからって0が1000個並ぶって言えるのかな

40 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:10:53.569 ID:SEaRefxZ0.net

>>34
ごめん嘘
ちゃんと考えれば解けるんだ
解いてくれ…

>>35
>>36
なんだ、良かった

41 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:11:41.343 ID:SEaRefxZ0.net

>>38
本当にな

>>39
正規性とか全く関係無い

42 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:11:51.900 ID:afxZY1XrM.net

>>26
はよはよ

43 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:12:28.488 ID:EnW0HQvE0.net

なんで間違いじゃないのかわからない学生俺

44 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:12:28.761 ID:8llXR3J/0.net

>>38
社会の前に大学入試で役に立つからセーフ

45 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:14:17.801 ID:smraLr1Ja.net

解いちゃってもいい？

46 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:15:18.840 ID:SEaRefxZ0.net

>>45
全然いいよ
皆の考え方を見たい

47 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:18:20.823 ID:OAH6Ighp0.net

んー
一番上の位の数が変わるときは0が並ぶから
そのときのnに着目して
a[n-1]とa[n-2]の差がa[n-3]であることを用いて差分の範囲を絞ればいけるかな

48 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:18:28.002 ID:LoBiOIKV0.net

ごめん書き方が悪かった

χ ただしχは「0」が1000個以上入る整数とする

だな

49 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:21:09.497 ID:SEaRefxZ0.net

>>47
a[n]とa[n-3]って桁数殆ど変わらないから一番上の位の数が変わる時でも一気に増加しちゃうのでその方針だと厳しいかも

50 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:22:37.991 ID:SEaRefxZ0.net

>>>48
ごめん、君どこに解答書いてくれたん？

51 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:23:00.757 ID:OAH6Ighp0.net

たしかにダメだな
チェッいけると思ったのに

52 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:23:03.075 ID:qLVN/Aop0.net

十分大きいnに対して 10^nを始めて超えたフィボナッチ数を評価して行けばよさそう
1000...000123(適当な数字の文字列)
ってなれば0がたくさんある事になるから

53 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:23:55.522 ID:BKKZZYLe0.net

b[m]はa[m]を10^1000で割った余りとする
このとき(b[m],b[m+1])の組み合わせは有限なので
m≠nで(b[m],b[m+1])=(b[n],b[n+1])となるものが必ず存在する
この数列は3項間漸化式なのでこれはb[n]が周期的に変化することを意味する
便宜的にa[0]=0という項を考えて漸化式をn=0にも適応してもa[1]〜a[n]に影響を与えない
このときb[0]=0なので周期的にb[m]=0となるm(≧1)が存在する

54 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:24:21.346 ID:SEaRefxZ0.net

>>52
それかかなり良い方針

55 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:26:51.675 ID:asY7OZeg0.net

nにら958624735476を代入したら自明

56 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:27:59.808 ID:SEaRefxZ0.net

>>53
正解だ！！！
賢いな！！！
そうそう、鳩ノ巣で攻めるのが良いと思う
まさか正解出るとは…
そろそろヒント出そうと思ってたけど出す前に終わってしまったな

57 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:28:01.987 ID:2eNde8Yjr.net

ルート使えば解けるんじゃない？

58 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:29:54.114 ID:OAH6Ighp0.net

なるほどわからん

59 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:30:43.568 ID:qLVN/Aop0.net

>>54
厳密にやるとかなり手間だからかなり省くけど

底が10の対数を取ればlog(10^n)=nで
フィボナッチ数列は黄金比の等比数列に近似されていくから(実際の証明ではεを使って評価するにしても)概ねlog(F_m)=m*Φ*c
ここでΦは黄金比で、cは定数(log初項 程度)
そんでmを十分大きくしていけばある整数より大きく、かつ好きなだけ近くできるから、そのある整数をn,その時のmでフィボナッチ数を与えればいい とかかな

60 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:33:23.807 ID:y9yyJrVR0.net

フィボナッチ数列 {Fn} は、十分に大きなnに対して Fn=φ^n/√5
よって10を底としたlogを取る事で、

log_10 Fn = n log_10 φ - log_10 √5

この時、0＜ε、整数 M を用いて、

M ≦ n log_10 φ - log_10 √5 ＜ M+ε

となるnが存在するかどうかを考えればよい
この時log_10 φが有理数でもlog_10 √5の有理数倍でもなければ、
任意のεに対してあるnとMが存在し、条件を満たす事は明らか

ここで、a[n] の中に「0」が1000コ並ぶ場合のさらに特殊な場合として、
最初が「1」、1000コの「0」から始まる場合を考えれば、ε＝10^-1000であるので、
log_10 φが有理数でもlog_10 √5の有理数倍でもない事を示せれば、
より厳しい条件に対して題意を満たすnが存在する事がわかる

61 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:33:29.347 ID:SEaRefxZ0.net

>>59
それでもオーケー
フィボナッチを等比数列に近似して対数取って箱入れでもいける
元々用意してた答えはこれだったけど圧倒的に>>53がスマートでちょっと萎えた

62 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:35:25.685 ID:SEaRefxZ0.net

>>60
正解です
やっぱ対数取る方が自然なのか

63 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:39:00.213 ID:SEaRefxZ0.net

>>60
厳密にはM ≦ n log_10 φ - log_10 √5 ＜ M+ε となるnが存在する
ってとこはちょっと怪しいね
解析してれば稠密性から自明だけど高校範囲で示そうとするとひと手間必要かな

64 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:39:08.058 ID:y9yyJrVR0.net

>>60つづき

log_10 φが有理数p/qだとすると、10^(p/q)=10^p/10^q=φ∈Qとなるが、
φは無理数なので矛盾。よってlog_10 φは有理数ではない

そんでlog_10 √5の有理数倍でない方は条件として必要ねえや
これで完全解決だな

65 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:41:41.181 ID:vBx5Qi87a.net

>>53
三項間漸化式だからと言って0を含んだ周期でループするとは限らないので減点！

66 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:41:56.744 ID:SEaRefxZ0.net

>>53は相当スマートだけど問題文をいじって
このとき、a[n]の文字列に「1」が1000個連続して並ぶような自然数nが存在することを示せ
ってなると詰むから>>60の方法に頼らざるを得ないな
でも凄いわ

67 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:42:56.256 ID:SEaRefxZ0.net

>>65
a[0]=0を定義してしまえばいいんだぞ

68 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:46:18.754 ID:y9yyJrVR0.net

>>63
その辺は「無理数xに対し、xMの小数部dが、任意の0＜n∈Nに対して0＜d＜1/nとなるMがある」を示せばいいか

xをp/nq＜x＜(p+1)/nqで表してM=qとすれば一瞬だけど

69 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:47:47.237 ID:y9yyJrVR0.net

……あれなんかおかしい事言った気がする
まあ似たような事やればすぐだからいいや

70 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:48:43.699 ID:x9akfqYb0.net

全部俺が書こうとしてた答えだわ

71 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:49:08.229 ID:BKKZZYLe0.net

>>65
確かに
予想だけど
1≦m<m≦(10^1000)^2なら(b[m],b[m+1])≠(b[n],b[n+1])かな？

>>67
いやダメだわ
例えば 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ・・ と途中からループに入る可能性がある

72 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:52:53.078 ID:SEaRefxZ0.net

>>71
本当だ
下の方の桁で考えるのは無理なのかな…
めっちゃ良い方法だと思ったんだけど

73 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 17:55:01.173 ID:SEaRefxZ0.net

そういえばフィボナッチ数列に対して割り算の余りの数列を考えるとループになるって結構有名事実だっけか

74 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 18:01:56.612 ID:y9yyJrVR0.net

2進数で考えるとかなり平気でループしやがるな

75 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 18:11:40.638 ID:3pTdMTNx6.net

面白そうなスレあると思って来てみたらほぼ終わってたorz

76 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 18:17:35.274 ID:y9yyJrVR0.net

1 1 2 3 5 8 3 1 4 5
9 4 3 7 0 7 7 4 1 5
6 1 7 8 5 3 8 1 9 0
9 9 8 7 5 2 7 9 6 5
1 6 7 3 0 3 3 6 9 5
4 9 3 2 5 7 2 9 1 0

試しに1の位で確かめてみたけど、60回でループするな
2進数だと3つループだ
つまり最大10^2000までチェックするか別の方法を使うかしないと下の位ではわからない

77 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 18:19:05.618 ID:SEaRefxZ0.net

>>60と同じだけど俺が用意してた解答

フィボナッチ数列の一般項1/√5*{((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^2}
(1-√5)/2の絶対値は1未満なのでnが十分大きければ一般項は1/√5*((1+√5)/2)^nと近似できる
(1+√5)/2=aとしてlog(√5*10^m)/log=(m+log√5)/loga(m=1001,1002,1003,…)の小数部分を考える(底は10)
任意の整数εに対してあるmが存在して(m/logaの小数部分)>((1-log√5)/logaの小数部分)かつ(m/logaの小数部分)-((1-log√5)/logaの小数部分)<εとなる
よってεを十分小さくとれば、そのときの上記のmに対してn=(m+log√5)/logaとすれば1/√5*((1+√5)/2)^nは10^mに近似され、上1001桁は10^mと一致する(つまり1000…000から始まる)ようにできる
もちろん1/√5*{((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^2}もそれと1の位以下の範囲でしか差が無いので題意を満たす

　　

78 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 18:20:54.557 ID:SEaRefxZ0.net

>>77
色々と誤字脱字が…
訂正
フィボナッチ数列の一般項1/√5*{((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^2}
(1-√5)/2の絶対値は1未満なのでnが十分大きければ一般項は1/√5*((1+√5)/2)^nと近似できる
(1+√5)/2=aとしてlog(√5*10^m)/loga=(m+log√5)/loga(m=1001,1002,1003,…)の小数部分を考える(底は10)
任意の正数εに対してあるmが存在して(m/logaの小数部分)>((1-log√5)/logaの小数部分)かつ(m/logaの小数部分)-((1-log√5)/logaの小数部分)<εとなる
よってεを十分小さくとれば、そのときの上記のmに対してn=(m+log√5)/logaとすれば1/√5*((1+√5)/2)^nは10^mに近似され、上1001桁は10^mと一致する(つまり1000…000から始まる)ようにできる
もちろん1/√5*{((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^2}もそれと1の位以下の範囲でしか差が無いので題意を満たす

　　

79 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 18:21:52.420 ID:3FIp4TEJa.net

ループはan+2とan+1によってanが一意だって言えば背理法で証明できる

80 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2016/09/25(日) 18:30:13.867 ID:xgUlxSbnp.net

問題集で見たわ