高校生でも分かる「集合論入門」スレ

1 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 10:51:04.042 ID:FH+dqDPQ0.net

「偶数と整数の個数が同じ」だとか
「自然数よりも実数の方が個数が多い」みたいなことを話だけなら聞いたことがあるかもしれない
その辺の所謂「集合の濃度」の話を高校生でも分かるように説明しようと思う

2 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 10:51:25.494 ID:SXRnI5WN0.net

わーいぱちぱち

3 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 10:52:19.037 ID:BF06jjbJ0.net

自然数も実数も無限だから同じじゃね

4 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 10:53:04.554 ID:FH+dqDPQ0.net

>>3
無限にも大小があるという話

5 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 10:53:30.479 ID:SXRnI5WN0.net

発散の速度みたいな話かな！！

6 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 10:53:45.940 ID:f7htfApLd.net

間違ってるところあったら直してやるから
安心して書き込め

7 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 10:56:47.627 ID:f7htfApLd.net

まだかいな

8 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 10:57:46.180 ID:yyXXJtoEd.net

全然しらんけど
べき集合を作ると濃度の段階というか格的な何かが一つ上がるとかそんな感じの結論でしょ？

9 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 10:58:55.846 ID:FH+dqDPQ0.net

まず簡単な例として有限の場合を考えてみようと思う

具体例として3点集合A={a1,a2,a3}と5点集合B={b1.b2.b3.b4.b5}があったとしよう
ここでAの各元をBの元のうちどれかに対応させるようなものを考えてみる
例としてはf(a1)=b1,f(a2)=b2,f(a3)=b3みたいな対応fが考えられる
(このようなfを集合Aから集合Bへの写像という)

10 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 10:59:34.236 ID:f7htfApLd.net

>>9
ここまで正しいよ
続けて

11 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 10:59:58.195 ID:SXRnI5WN0.net

関数と写像ってどう違うの？

12 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:00:10.361 ID:KPxJDgd3a.net

>>9
わからない

13 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:01:15.141 ID:f7htfApLd.net

>>11
厳密に話すと複雑になるから割愛するが
写像の方が若干広い概念

14 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:01:22.899 ID:r1xGYhHRd.net

{X｜X∉X}

15 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:05:19.213 ID:/aCcWCdxM.net

面白そう

16 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:05:36.012 ID:FH+dqDPQ0.net

このとき写像fはどんなAの元aに対してもf(a)=b4またはf(a)=b5とはなっていないとこが分かると思う
3点集合Aから5点集合Bへの対応を考えれば最低でも対応しない2点が出てくるのは当たり前だが、このように集合Aよりも集合Bの方が"大きい"ことを
「集合Aから集合Bへのどんな対応を考えても集合Bの対応しない元が出てくること」だと理解することが出来ると思う

17 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:05:52.055 ID:SXRnI5WN0.net

へえ
大体同じと捉えておく

18 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:07:21.459 ID:FH+dqDPQ0.net

>>11
fが集合Aから集合Bへの写像だとして
特にB=R(実数全体)の場合fを(実数値)関数という
また、B=C(複素数全体)の場合にもfを(複素数値)関数といったりする

19 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:08:38.761 ID:f7htfApLd.net

普通にちゃんとしててワロタ
数学科生かな？

20 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:10:07.698 ID:SXRnI5WN0.net

複素数より広い集合を知らないからピンとこないけどなるほど

21 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:10:29.489 ID:f7htfApLd.net

>>20
四元数とかが有名だよ

22 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:13:23.877 ID:SXRnI5WN0.net

へー四元数って初めて知った
相対論の計量テンソルみたいだね

23 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:13:53.825 ID:FH+dqDPQ0.net

逆に集合Bから集合Aへの写像を考えてみると
例えばf(b1)=a1,f(b2)=a2,f(b3)=a3,f(b4)=a3,f(b5)=a3
という写像fを考えてみると、これはAのどの元にも対応していることが分かると思う
集合Aよりも集合Bが"大きい"ことを
「集合Bから集合Aへの写像fで、Aの元で対応しないものが無いようなものが存在する」と理解することも出来る
イメージ的には集合Bで集合Aを"覆える"なら集合Bは集合Aよりも大きいだろう、という感じ

24 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:13:54.228 ID:30+tLsha0.net

1はさっき東大のスレ立ててた人だよ

25 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:15:51.143 ID:f7htfApLd.net

>>24
あーあの人か
さすが先輩っす

26 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:15:53.940 ID:SXRnI5WN0.net

写像はある引数に対して多価になってもいいの？

27 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:17:15.764 ID:kAUXQGhSd.net

>>26
ダメよ、ダメダメ

28 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:19:36.680 ID:Dbz0Q1I1a.net

>>6
何様だよ

29 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:20:34.730 ID:f7htfApLd.net

>>28
悪かったな

30 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:20:55.037 ID:f7htfApLd.net

俺も東大の院で数学やってたもんで…

31 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:21:30.043 ID:FH+dqDPQ0.net

上の例でみたように2つの集合A,Bの大小を考えるのには
「集合Aから集合Bへの写像で集合Bのどんな元にも対応するようなものが存在するのかどうか」が鍵になりそうな感じである

なので
「集合Aから集合Bへの写像で集合Bのどんな元にも対応するようなものが存在する」
という性質を数学用語で名付けたいと思う
これを一般に「集合Aから集合Bへの全射が存在する」と言う

定義:
集合Aから集合Bへの写像fが全射であるとは、
どんなBの元bを選んでもあるAの元aがあってf(a)=bが成立することをいう

32 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:23:41.629 ID:FH+dqDPQ0.net

>>26
多価関数という概念はあるがここでは写像は飛ぶ先の集合の唯一つの元に対応させるものを考える

33 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:23:55.281 ID:Dbz0Q1I1a.net

>>30
お前のクソみたいな自己顕示欲承認欲求は東大関係ねーよ巻き込むな

34 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:25:01.394 ID:FH+dqDPQ0.net

分かりにくいところあったらちゃんと説明するから遠慮せず指摘してくれ

35 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:28:14.217 ID:wHGdi2Xna.net

逆写像みたいなのは思い浮かべない方がいいのねおっけー

36 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:31:21.867 ID:FH+dqDPQ0.net

さて、全射という概念が定義されると自然数n,mに対してn≧mであることを次のように言い換えることも出来る

命題:
自然数n,mに対して
n≧m⇔n元集合Aからm元集合Bへの全射が存在する



例えば集合{1,2,3,4,5,6}から集合{1,3,5,7}への写像fをf(1)=1,f(2)=3,f(3)=5,f(4)=f(5)=f(6)=7で定めればこれは全射だが
実際6≧4である

37 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:34:20.692 ID:f7htfApLd.net

>>33
イキるな低学歴

38 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:34:21.099 ID:mAXAcizoa.net

>>23
数学の偏差値が30代だった俺はこの時点でわからん
b3=a3、b4=a3ってb3=b4にならんの

39 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:36:04.987 ID:kAUXQGhSd.net

書き溜めているわけではないみたい？

>>38
2次関数覚えてる？
実数xにたいして、x^2を対応させる関数を考えると、
-1の2乗も1の2乗も1だけど、-1と1は違う数じゃん

40 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:36:46.305 ID:wHGdi2Xna.net

関数で言えばy=sinxでy=0となるxは0,π,2π…とあるのと同じ感覚だと思ってる

41 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:39:55.177 ID:FH+dqDPQ0.net

そろそろ集合の濃度の大小及びイコールの関係を定義したいがそれにはもう少し定義する必要がある
それは全射の逆の概念である単射という概念

あれこれ言わず先に定義を書いておくと

定義:
集合Aから集合Bへの写像fが単射であるとは
どんなAの異なる2元a,a'に対してもf(a)≠f(a')が成立することである

要は異なる値を代入したらちゃんと異なる値に飛ぶような写像を単射と言うわけである
何故これが全射の逆なのかというと、それは次の命題をみてもらえれば分かると思う

42 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:41:09.447 ID:wHGdi2Xna.net

あっ、ここで否定してくれるんだ

43 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:42:10.329 ID:FH+dqDPQ0.net

>>38
b3=a3、b4=a3ではなくf(b3)=a3,f(b4)=a3ね
fでb3,b4を飛ばした先の値がどちらもa3ってこと

>>39
書き溜めてないね、ごめん

44 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:42:21.495 ID:yJgWtnHta.net

バナッハタルスキーについての説明よろしく

45 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:43:30.349 ID:FH+dqDPQ0.net

>>40はRからRへの関数で単射でない例ですね

46 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:43:39.578 ID:wHGdi2Xna.net

単射かつ全射のときイコールになるってことかな？

47 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:44:22.059 ID:FH+dqDPQ0.net

>>44
選択公理はここではあんまり触れない

48 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:44:59.455 ID:FH+dqDPQ0.net

>>46
先に言ってしまうとそういうことだね

49 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:45:21.594 ID:wHGdi2Xna.net

おおわかりよいぞ

50 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:45:27.269 ID:TA3PQFdY0.net

よくわからんからベン図で頼む

51 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:46:18.044 ID:yJgWtnHta.net

自然数集合より大きく、実数集合より小さい集合はあると思う？

52 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:47:34.105 ID:kAUXQGhSd.net

>>45
全射でもないけどねｗｗｗ
sin (x) =2となる実数xは存在しないからね
タンジェントだとRからRへの全射になる

53 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:47:37.905 ID:wHGdi2Xna.net

それは整数集合ではだめなの？

54 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:47:50.474 ID:mAXAcizoa.net

>>39
>>40
うっすらイメージつかめた�d

>>43
そのfで飛ばすってのがわからんよ…
bの値入れた時にaのそれぞれの値と等しくなるような式を仮定するって感じなん？

55 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:48:59.047 ID:9c3+q/Srd.net

56 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:51:32.567 ID:kAUXQGhSd.net

>>53
f(x) = x/2 (xが偶数)
　　 -(x+1)/2 (xは奇数)
みたいな感じの関数を作ると、自然数から整数への全単射になる

57 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:51:43.665 ID:yJgWtnHta.net

>>51
濃度の話ね

58 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:55:18.693 ID:9c3+q/Srd.net

全射f:A→B
∀b∈B,∃a∈A,[ f(a)=b ]

59 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:56:19.144 ID:yJgWtnHta.net

回答まだ？

60 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:56:56.172 ID:FH+dqDPQ0.net

単射が全射の逆といった理由は以下に命題に依る

命題:集合Aから集合Bへの単射が存在⇔集合Bから集合Aへの全射が存在
(実はこの命題は"選択公理"という大事な公理と同値であり、選択公理を使わないと証明できないのであるがその辺は今回は深く考えたいことにする)

証明)
(→)集合Aから集合Bへの単射fが存在すると仮定する
このとき写像g:B→A(集合Bから集合Aへの写像gの略記)をどんなAの元aに対してもg(f(a))=aを満たすように定義すればこれは全射になる
(fの単射性から各b∈Bに対しb=f(a)となるa∈Aは高々1個なのでこのような写像gを定義することができる)
(←)f:B→Aが全射とする
このときg:A→Bをg(a)∈{b∈B|f(b)=a}(fの全射性からこれは空でない)となるようにとればこれは単射である
実際、a≠a'ならa=f(g(a))≠f(g(a'))=a'よりg(a)≠g(a')

61 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:57:47.893 ID:HP8wtbIm0.net

なんで平日の昼に高校生向けのスレ立てたの

62 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:59:27.171 ID:wHGdi2Xna.net

暇な大学院生が見とるよ〜

63 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 11:59:38.619 ID:FH+dqDPQ0.net

>>54
そうそう
例えばf(x)=x^2なんかもf(-1)=f(1)=1だけどそれは-1=1ってことにはならないよね？
そんな感じ

64 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:00:33.853 ID:yJgWtnHta.net

>>51はよ

65 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:01:53.996 ID:FH+dqDPQ0.net

>>61
高校生はこの時期期末テスト後じゃね
知らんけど

>>51
個人的には無いと思うが
自然数と実数の間の濃度が非可算個あるようなモデルも普通に作れるし何とも言えないな

66 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:04:50.711 ID:yJgWtnHta.net

>>65
なにこの回答
ちゃんと勉強してる？

67 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:08:22.176 ID:yJgWtnHta.net

濃度の話するのにそんなのもわかってないのかよ
教えられる高校生可哀想

68 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:08:45.601 ID:wHGdi2Xna.net

高校生でもわかる集合論っていうスレなのに議題片手に乗り込んであまつさえ回答に文句つけ始めるとか終わってますな
相手にしなくていいので続きお願いします

69 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:10:10.746 ID:FH+dqDPQ0.net

つまりAからBへの単射があるっていうのはBからAへの全射があるってことなんだ
「AからBへの全射がある」の逆は(数学的な"逆"ではなくあくまでイメージだが)「BからAへの全射がある」
でこれは「AからBへの全射がある」と同値だから全射と単射は逆というか対になってるわけね

ここで全射と単射が定義されたので全単射を定義する

定義:写像f:A→Bが全単射であるとはfが全射かつ単射であること

イメージ的にはAがBをはみ出ることなくピッタリ覆える感じ


全射と単射の例:

f:R→R;f(x)=xは全単射

f:R→R;f(x)=x^3は全単射

f:R→R;f(x)=x^3-3xは全射だが単射でない

f:R→R;f(x)=2^xは単射だが全射でない

f:R→R;f(x)=sinxは全射でも単射でもない

f:R→[-1,1];f(x)=sinxは全射だが単射でない

70 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:10:47.988 ID:yJgWtnHta.net

>>68
そりゃ数学の常識中の常識を分かってない回答したんだから当然
聞くのは勝手だけど以後、こいつの言うことは数学的に正しく無いと思って聞きなさい

71 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:12:19.744 ID:FH+dqDPQ0.net

>でこれは「AからBへの全射がある」と同値だから全射と単射は逆というか対になってるわけね

訂正
×「AからBへの全射がある」
○「AからBへの単射がある」

72 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:13:29.532 ID:9c3+q/Srd.net

>>70
君の方が信用されてないよ😄👍

73 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:13:51.495 ID:FH+dqDPQ0.net

>>67
どういう解答を期待してたんだ？
独立命題に対してyes/noを断定出来るわけがないのだが

74 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:14:39.833 ID:SXRnI5WN0.net

そんな論理性欠いた人の相手しなくていいから続きはよ

75 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:15:54.878 ID:yJgWtnHta.net

>>73
独立命題って分かってるなら、なおさら意味のわからない回答だな
厳密に答えろよ

76 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:20:59.655 ID:FH+dqDPQ0.net

ここまで来たらようやく集合の濃度の大小イコール関係が定義出来る

定義:
集合Aの濃度が集合Bの濃度より大きい(または等しい)ことを

集合から集合Bへの全射が存在すること

により定義する
これを

|A|≧|B|と表記する

更に、集合Aの濃度と集合Bの濃度が等しいことを

集合Aから集合Bへの全単射が存在すること
(※これは集合Bから集合Aへの全単射が存在することとも同値)

と定義する
これを

|A|=|B|と表記する

77 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:23:43.928 ID:FH+dqDPQ0.net

>>75
書いた通りだが
俺も通説通りCHを直感的に信じているがℵ0とℵ1の間に濃度が存在するどころか非可算個もっと言えば殆どどんな基数個でも存在するようなモデルが作れることが知られているので何とも言えんって話

78 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:32:01.581 ID:FH+dqDPQ0.net

上の定義からほぼ自明にわかることをいくつか書いておく

命題:
AからBへの単射が存在⇔BからAへの全射が存在⇔|A|≦|B|

命題:
|A|≧|B|かつ|B|≧|C|なら|A|≧|C|
(全射と全射の合成は全射であることに依る)

命題:Aをn元集合,Bをm元集合とする
n≧m⇔|A|≧|B|
(>>36より)

命題:Aを無限集合,Bを有限集合とすると|A|≧|B|
(無限集合から有限集合への全射があるのは明らか)

79 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:32:44.591 ID:yJgWtnHta.net

>>77
CHなんで直感的に信じてんの？
そこからして意味不明なんだが。むしろ直感的には偽だろ
しかも他のモデルがーとか言ってるってことは、無いと思うってのはZFC内の話？
本当に集合論やってんの？

80 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:36:43.266 ID:FH+dqDPQ0.net

>>79
俺には何で直感的に偽になるのか分からない
ZFC内の話だよ

81 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:39:31.010 ID:mAXAcizoa.net

>>63
そういうことでいいんかありがとう
一次関数とか二次関数くらいしか知らんから全くイメージ出来なかったけど値を条件付けさえすればそういう式って作れるもんなのかな

82 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:44:13.058 ID:5epvJqHDr.net

交換子について教えてよ

83 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:49:02.890 ID:FH+dqDPQ0.net

以下はいくつかの代表的な無限集合の濃度が等しいという話

命題:整数全体の集合Zの濃度と偶数全体の集合2Zの濃度は等しい

証明)
f:Z→2Zをf(x)=2xにより定めるとこれは全単射なので|Z|=|2Z|

命題:偶数全体の集合2Zと奇数全体の集合2Z+1の濃度は等しい

証明)
f:2Z→2Z+1をf(x)=x+1により定めるとこれは全単射なので|2Z|=|2Z+1|

命題:自然数全体の集合Nと整数全体の集合Zの濃度は等しい

証明)
f:N→Zをf(x)=x/2(xが偶数の時),-(x-1)/2(xが奇数の時)と定めるとこれは全単射なので|N|=|Z|

84 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:52:25.400 ID:FH+dqDPQ0.net

>>82
可解群の話かな？

85 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:53:49.224 ID:SXRnI5WN0.net

量子力学の交換子なら説明できる

86 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:56:50.567 ID:kAUXQGhSd.net

>>81
そういうってどういう？

>>83
最後のやつの証明で作ってる関数が間違ってる
1と0がともに0に飛んでる
奇数のときの括弧の中をプラスにしないと

87 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 12:57:18.277 ID:yJgWtnHta.net

>>80
なんでもなにも連続体濃度をアレフ2にした方が色々捗るだろ？
数学的直感に従えば、連続体濃度がアレフ2になるのが一番綺麗な形なんだが。むしろなんでアレフ1になるわけ？
連続体仮説を仮定するとクソつまらない数学しか出てこないしな
まぁ、俺はそもそもこんな数学的直感自体クソだと思って中立立場とってるから
ZFC内で話してんなら真偽不明以上の何物でも無いと回答して欲しかったね

88 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 13:03:54.178 ID:FH+dqDPQ0.net

命題:自然数全体の集合Nと有理数全体の集合Qの濃度は等しい

証明)格子点(m,n)(m,n∈N)の無限列を(0,0),(1,0),(1,1),(1,0),(-1,1),(-1,0),(-1,-1),(0,-1),(1,-1),(2,-1),(2,0),…
と(0,0)から出発して反時計回りに全ての格子点を覆い尽くすようなものを考える
x番目の格子点(m,n)がn≠0であり、かつm/nの値が等しい格子点がそれ以前には現れていないときf(x)=m/nと定めるとこれはNからQへの全単射
したがって|N|=|Q|

89 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 13:05:21.698 ID:FH+dqDPQ0.net

>>86
高校数学に基づいて自然数には0を含めないことにしている
先に書いておくべきだったなごめん

90 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 13:08:30.110 ID:FH+dqDPQ0.net

>>87
>連続体濃度がアレフ2になるのが一番綺麗な形なんだが
そんな話基礎論やってて聞いたことねーな

ていうか連続体濃度はℵ1であってℵ2ではないよ
ω2のこと言ってるのかね

91 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 13:15:45.764 ID:yJgWtnHta.net

>>90
え？？？？？？？？？？？
なに言ってんだこいつ
連続体濃度=アルフ1、こそCHの言ってる内容だろｗｗｗｗ
そりゃCH盲信なら連続体濃度=アルフ1だろうけどさぁｗｗｗｗ きみ数学科？その認識やばくね？
ていうかwoodinとか知らないの？

92 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 13:22:26.386 ID:yJgWtnHta.net

まず、PFAを採択すれば、連続体濃度=アレフ2になることは証明されてるしな
聞いたことないとかマジ？
もうスレ伸ばさなくていいよ
じゃあね

93 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 13:44:30.645 ID:sowJagv/0.net

勉強しにきたら先生が論破されてた

94 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 13:50:32.431 ID:sdrovJCza.net

集合論はもう時代遅れで今は圏論の時代なんでしょ

95 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 13:58:49.738 ID:30+tLsha0.net

先生が論破されてたは草

96 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 14:03:10.498 ID:kAUXQGhSd.net

数学科以外はあまり関心がなさそうなところでの論破だけどな……

97 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 14:03:25.090 ID:4ri7A/8rH.net

7月10日引け後に発表された決算・業績修正
http://startp.versailles.jp/dton/

98 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 14:09:07.014 ID:G73lBPm1a.net

>>96
ヒルベルトが挙げた23の難問のトップバッター
超有名問題だから、数学科じゃなくても数学好きな奴なら普通に知ってる話
実際、俺も数学科ではない、ただの数学オタクの物理屋

99 ：ID変わったけど、ID:kAUXQGhSd：2017/07/10(月) 14:34:35.280 ID:agHQzrD+0.net

>>98
「論破」されたと言える内容は「連続体仮説を採用するのが自然」という内容
1は連続体仮説が正しいと言ってそれが崩されたわけではなく、
連続体仮説って自然じゃね？と言ってそんなことはないよと返されただけ
あなたは連続体仮説を採用したときのメリットやデメリットについて興味があるの？

100 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 14:48:40.907 ID:egu7SgAUa.net

連続体仮説そのものというより公理系の話に興味があるだけ
ZFC+MA+¬CHとか少しでもかじったことあれば
CHが真が自然とか言い出すことはありえない
そもそもゲーデルの不完全性定理により、ZFC内では真偽不明と答えるのが、数学科なら当然だと思うが。

101 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 15:12:50.646 ID:30+tLsha0.net

>>99
それは流石に違うそもそも論破されてないしアレフ1の定義を間違えていただけでしょこれがどれくらいの無理解に当たるのかは知らないしこれを論破とかいうならそうだけど
坪井ホモロジーも同じ間違いしてるから数学科だからこれくらいってのは不適切だろうね
十分教えて良いレベルだと思うけどね

ゲーデルとか言ってて怪しいから調べたら誤解みたいだし数学科ならゲーデルなんて理解してなかったらよっぽど使わんだろうね

102 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 15:14:04.157 ID:73Ksg5E+0.net

元ってなんだよ

103 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 15:18:24.405 ID:j/63xsnlM.net

高校生だけど誰でも良いからもっと教えてくれ

104 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 15:18:32.387 ID:pNQF4ezba.net

モンゴルだよ

105 ：次のレスはIDが変わる予定：2017/07/10(月) 15:19:00.518 ID:agHQzrD+0.net

>>101
論破と言い出したのは俺じゃない
ただたしかに論破という言葉を不用意に使ったのは俺のミスなんだよな
それ以外の部分は「違う」の件もアレフ1の定義も含めて、よく分からんとしか言えない……

>>102
集合の要素のこと
たとえば、このスレのレスにあるIDを全部とってきて集合にする
その集合をSとおくと、agHQzrD+0はSの元ということになる

106 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 15:19:05.301 ID:egu7SgAUa.net

CHが自然とか言い出す時点で、ろくな公理系も知らないのは確定だろ
そもそもCHはZFC内で証明も反証もできない独立命題であることは非常によく知られてるし、それを理解してない時点で無理解とかいうレベルじゃねー
まあそもそもアレフ2の話を見たことない時点でかなり低級だよ
いくら専門が違うっつっても流石にね

107 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 15:21:56.736 ID:egu7SgAUa.net

あと>>1を擁護してる馬鹿ども
ZFC+MA+¬CHも知らないのか？
知ってて、その上でCHの採用が自然だって言ってるのか？
前者なら勉強してこいアホンダラ
後者なら主張言ってみ議論してやるから

108 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 15:24:28.506 ID:egu7SgAUa.net

まあ俺も論破したとは思ってない
CHを採用する公理系を主張するなら議論したかっただけ

まあしいて論破したと言うとすれば>>77だな
通説通りCHを信じてる、とかふざけたこと抜かしてる
真逆だよ、真逆
どんな勘違いしたらそんな通説を支持できるんだ
東大数学院なんだろ？ありえねー

109 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 15:33:26.677 ID:E73VLfGf6.net

ID変えた？

110 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 16:45:30.361 ID:Yx82DzzDd.net

すまん、ID変わったがイッチや
ワイは障害持ちでな、たまにこういうクソスレを立ててしまうんや、ワイのことは存分に罵ってくれ

111 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 16:48:13.036 ID:jFfHk7mvd.net

知らんけど集合論の入門で1の内容ならこんなもんというか普通の素朴集合論の講義して学生が理解してるレベルよりは上だろうし院行っても全く触れない人は触れないだろうし講義してる人ですら大して理解してないと思うし

112 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 17:43:46.628 ID:Dbvf+//B6.net

>>1はどこいったの？

113 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 18:15:21.945 ID:oBtYBW+o6.net

知らないものを知らない、と言えないから目付けられたんだろうね
東大院？が本当なら、知らないというのがプライド的に許せなかったんだろう

114 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 18:21:22.351 ID:oElHt0Fr0.net

数学科でも集合論を専門にやってる人はごく少数だろ

115 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 18:25:07.075 ID:frjF96H/d.net

>>109
ID変わった宣言マンなら俺だよ
リアルの雑事をしたり、
http://i.imgur.com/2fVCGir.jpg
を検索したりしてたよ

>>113
言ったら言ったでもっと暴れてただけだと思うけどなあ

>>114
だろうな
基礎論なんてやり出すと止まらないからね

116 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 18:32:44.345 ID:L+MSTd2m0.net

また基礎論屋が暴れてたのか
これだから基礎論はバカにされるんだよな

117 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 19:04:28.108 ID:agHQzrD+0.net

どうでもいいけど、高校生相手に濃度から説明するのって適切なのか？
部分集合とか冪集合とか直積集合とかから説明してもいいような感じはあるな

要望があったら埋めネタ的にだらだら書きたいとは思ってるけど……
※俺は全然詳しくないです

118 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 19:05:17.510 ID:4XEzElc40.net

さあやれ今やれ

119 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 19:07:17.957 ID:yAWGL0NSa.net

おー、見に来たらここまで無知が多いのも珍しいね
それとも>>1がID変えて自演してんのかな？

基礎論やり出すと止まらないもクソも、最初の部分なんだよなｗｗ
この>>1が「濃度について教えます＾＾」とか言ってるんだから、その程度も理解してないとダメ
たぶんこれからカントールの対角線論法とか書くつもりだったんだろう？
その過程で「自然数濃度と実数濃度の中間はないの？」って割と普通に沸く疑問だろ
それに間違った答えしてるんだから、これは教えちゃダメだわ
濃度の話はただでさえ誤解が多いのに

120 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 19:10:26.359 ID:4XEzElc40.net

語れや😃

121 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 19:13:23.071 ID:agHQzrD+0.net

書き溜めは無し

上で「元って何？」という質問があったんだが、
集合って何よと思っている高校生もいるかも
集合はモノの集まりくらいのことは知っている思うけど、ぶっちゃけそれで大体困らないと思う
とはいえ、大体の例に当てはまらないことがあったから、
公理論的集合論といって集合とは○○という性質をもつものですと先に決めてしまうのが数学の主流
で、その性質としてどういうものを持ってきますという一例が、ZFC
ZFCの説明は省略するから、気になった人は調べてみてもいいかも
んなもん興味ないよ、という人はとりあえず、
寄せ集め、特に実数や有理数、整数などを寄せ集めたものをイメージしておくといいと思う

>>118
ええ！？

122 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 19:22:07.523 ID:Dbvf+//B6.net

>>119
あなたそんなにフラットで見てるのに連続体集合をℵ2にしてるのは何？
ℵ3以上主張してる人もいるにはいるでしょ

123 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 19:23:28.911 ID:4XEzElc40.net

集合の濃度全体は集合を成しますか！？

124 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 19:32:21.526 ID:agHQzrD+0.net

適当に様子見ながら、しかも片手間で書いてるｗｗｗ

集合ってイメージとしては寄せ集めだと言った
寄せ集めなんだから、その寄せ集められたモノがあって、それを元と呼ぶ
あるxが集合Aの元であるときに、
　x ∈ A
と書く
例をいくつか
　1 ∈ (自然数全体からなる集合) ≡ N
　1/2 ∈ (有理数全体からなる集合) ≡ Q

>>123
ええい、黙れ、黙れｗｗｗ
自力では示せないんだけど、違うんじゃなかったっけ？
やろうと思えばできるかまで考えると、全く分からん

125 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 19:52:04.938 ID:agHQzrD+0.net

外延的記法とか内包的記法とか

あらかじめ名前なり記号なりが与えられた集合ならさておき、そうでない集合を書くときの方法が2つある
外延的記法というのは元を羅列した書き方
｛1, 2｝ ｛タカ, トラ, バッタ｝｛1, 2, 3, …, 10｝
内包的記法は、元となる条件を記載した書き方
｛x | x∈N かつ 1 ≦ x ≦10｝
｛x∈Q | 1 ≦ x ≦ 10｝
｛x∈｛タカ, トラ, バッタ｝; xは3文字 ｝

反応もいまいちだし、休むか

126 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 19:54:48.501 ID:oBtYBW+o6.net

そりゃそんな教科書を無意味に難しくしたような内容読みたい高校生なんてvipにこないでしょ

127 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/07/10(月) 20:03:34.288 ID:lC7OH8LEa.net

大した読んでないけど正直元とかわざわざ小難しくその書いて意味説明しなくても高校で習った通り要素でいいじゃんとは思った