数学の難問くれ

1 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/21(火) 21:57:14.767 ID:6FZ+LOtDM.net

解きたい

ただリーマン予想とかフェルマーの最終定理みたいなのは勘弁して

115 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 00:54:58.341 ID:GNemW4Qw0.net

>>112
正解

116 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 00:55:10.609 ID:TGFaYSyfM.net

>>113
なーる　群論ちょっと勉強しようかな

117 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:05:15.459 ID:68nFJVRz0.net

>>111
上限はある
1000個があったら絶対に格子点が存在してしまうよ

格子点を結んだ「線上」って書いてしまったけど「線分上」なのは大丈夫だよね？
とりあえず、まず平面で考えてもいいかも

118 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:07:53.719 ID:GNemW4Qw0.net

>>117
線分上だったのか
直線上だと思った
じゃあ尚更上限あるのかこれ

119 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:10:00.839 ID:NuOJAFv80.net

直線上でも線分上でも同じじゃないの

120 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:11:04.263 ID:68nFJVRz0.net

>>118
まじか、それはすまんかった
端点って書いたから訂正要らんと思ってしまった

線分の方が条件緩くなりそう(より多く配置できそう)じゃないか？
題意が伝わっているか若干不安

121 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:12:22.225 ID:68nFJVRz0.net

>>120
あ、いやいいのか
すまん

122 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:13:16.581 ID:GNemW4Qw0.net

>>120
うん、線分の方がより多く配置されるはずだから尚更上限なんてあるの？ってなった

123 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:16:50.444 ID:w+G6mOWf0.net

>>95
k≦8 かな？

124 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:18:27.774 ID:GNemW4Qw0.net

平面ですら上限無いと思うんだが…
たとえばn個目の座標を(n,n^2)にしたら普通に条件満たされない？

125 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:22:58.805 ID:GNemW4Qw0.net

あ、問題超勘違いしてたわ
格子点が無いの「格子点」は別にk個の格子点に限った格子点じゃないのか
じゃあ普通に鳩ノ巣でn次元の場合max2^nだわ

126 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:23:06.778 ID:68nFJVRz0.net

>>123
正解

>>124
いやあるよ
具体的にどの点とどの点のどの内分点って指摘できる

127 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:23:49.728 ID:68nFJVRz0.net

>>125
そうです

128 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:26:28.527 ID:w+G6mOWf0.net

３つの座標の偶奇のパターンが2*2*2=8パターン
鳩ノ巣原理より、9個以上の格子点があると、少なくとも一組は偶奇が３つとも一致する
偶奇が一致する２つの格子点の中点は格子点になる
でいいのかな？

129 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:28:27.568 ID:68nFJVRz0.net

>>128
よい
ほぼ自明だけど8が最大であることの具体例も示せればより良い

130 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:33:16.731 ID:GNemW4Qw0.net

>>129
立方体でよくね

131 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:33:36.445 ID:GNemW4Qw0.net

1×1×1のね

132 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:35:11.126 ID:68nFJVRz0.net

>>130
うんいい

133 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:36:59.747 ID:2otayIC60.net

問題じゃないんだけど
核(kernel)って何でどの文献見ても本質的に「群準同型写像の」核として定義されてるの？
写像の行き先が群でさえあれば、更に言えば単位元さえ存在してれば
群準同型でなくとも定義できそうなものだけど…
実用上意味があるかは置いておくとして

134 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:39:21.837 ID:GNemW4Qw0.net

nを2以上の自然数とする
n未満の自然数のうちnと互いに素なものを全て掛けて2乗するとmod nで1になることを示せ

135 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:44:28.716 ID:GNemW4Qw0.net

>>133
説明になってるか分からんけど核を考えるのってそれ自身群の場合は正規部分群になったり環準同型の場合はイデアルになったりして特にKernelで割って剰余群・商環を考えることができるっていうのが本質的だからじゃないかな
集合から代数的集合への写像に対して核もどきを考えてもそっから何も広がんないんじゃね

136 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:46:55.613 ID:S//w9DhEr.net

大学入試レベルで申し訳ないが

半径1の円に内接する正n角形の頂点をP1,P2,……,Pnとする
線分PnPkの長さをAkとするとき、A1*A2*……*A(n-2)*A(n-1)を求めよ

137 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 01:58:04.808 ID:GNemW4Qw0.net

>>136
2^(n-1)*Πsin(mπ/n)になったけどもっときれいになるこれ？

138 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:00:58.885 ID:S//w9DhEr.net

>>137
かなりきれいになるはず

139 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:07:09.459 ID:GNemW4Qw0.net

>>138
綺麗になる気がしない
本当に和じゃなくて積を求めるの？

140 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:10:22.051 ID:S//w9DhEr.net

>>139
積を求める

141 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:12:48.624 ID:GNemW4Qw0.net

>>140
積和の公式とか使うなら諦めるぜ

142 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:16:59.985 ID:S//w9DhEr.net

>>141
複素平面と因数定理で計算できるはず

143 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:19:14.640 ID:GNemW4Qw0.net

>>142
複素で計算したら>>137になったんだがなぁ
因数定理ってどう使うんだ

144 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:20:30.919 ID:TGFaYSyfM.net

おはようございます

>>134
(Π(x∈(Z/nZ)*) x)^2=(Π(x∈(Z/nZ)*) x)(Π(x∈(Z/nZ)*) x^(-1))=Π(x∈(Z/nZ)* )(xx^(-1))=1

145 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:20:47.425 ID:G2tLsIw40.net

P_n=1 として一般性を失わない
P_k は方程式 f(z) := z^n - 1 の解
求めるものは (|f(z)/(z-1)|)_{z=1} = n

146 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:21:14.616 ID:TGFaYSyfM.net

>>136
これnになるよ
解答作るから待って

147 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:21:31.636 ID:S//w9DhEr.net

答えはn

正n角形の頂点を
α=cos(2π/n)+isin(2π/n)
Pk=α^k (k=1,2,……,n)
ととると、求める値は、
|1-α|*|1-α^2|*|1-α^3|*……*|1-α^(n-1)|　――�@
ここで、因数定理より、
x^n-1
=(x-1)(x-α)(x-α^2)……(x-α^(n-1))
∴�@=lim[x→1] |(x^n-1)/(x-1)|=n

多分これであってる

148 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:21:35.443 ID:TGFaYSyfM.net

>>145
あ

149 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:21:39.518 ID:GNemW4Qw0.net

>>144
正解寝てたのかｗ

150 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:22:35.249 ID:TGFaYSyfM.net

>>149
少しだけ気を失ってた

151 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:26:20.344 ID:TGFaYSyfM.net

じゃあ>>136の発展問題

半径1の円に内接する正n角形のある頂点から時計回りに1,2,...,nと頂点に番号を付ける
nと互いに素な番号とn番を結ぶ線分の長さの積を求めよ

152 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:27:00.044 ID:GNemW4Qw0.net

>>147
おお、これは賢いな！
なるほど

153 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:30:36.566 ID:cSGhb5+ia.net

二次試験レベルの問題になると全く溶けないのだけども、
数学って難しい問題に一回ぶち当たって学んだ方がいいの？
それとも基礎固め？
なんか固めてても効率がなあ

154 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:34:47.021 ID:TGFaYSyfM.net

>>153
難しい問題はもう最初から解答見て理解する→もっかい解くって勉強法が効率いいと思う
分からない問題を無理にじっくり考え続けてもある程度の定石みたいなのを知らないと意味ないと思うし

155 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:39:16.514 ID:G2tLsIw40.net

>>151
n が素数なら n
n = p^k (pは素数）なら p
それ以外は 1

156 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:39:57.269 ID:cSGhb5+ia.net

>>154
なるほどね、確かに一回目で解ける必要はないね。分からないところを理解しにいく方が得るものあるね
ありがとう
これ物理とかも当てはまりますか？

157 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:42:29.076 ID:TGFaYSyfM.net

>>155
おおお
さすが
正解です

>>156
物理はどうだろか
アドバイス出来ん
すまんな

158 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:44:37.542 ID:GNemW4Qw0.net

>>157
解説たのむ

159 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:47:13.346 ID:TGFaYSyfM.net

>>158
ζを1の原始n乗根として、
Π(k:nと互いに素)(x-ζ^k)は円分多項式になる

つまり求める値は円分多項式に1を代入した値

あとは円分多項式の理論を色々認める感じです

160 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:48:20.963 ID:GNemW4Qw0.net

>>159
円分多項式とか覚えてねーｗ

161 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:49:51.108 ID:GNemW4Qw0.net

楽しかったわ
ではおやすみ

162 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:50:53.038 ID:TGFaYSyfM.net

>>160
ζの最小多項式
つまりx^n-1を既約分解したときのφ(n)次の多項式のことだよ(φはオイラーのトーシェント関数)

163 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:51:03.782 ID:TGFaYSyfM.net

>>161
おやすみ

164 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/22(水) 02:53:35.567 ID:cSGhb5+ia.net

>>157
ありがとう
おやす