数学の天才来てくれ

1 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:49:23.036 ID:NKiC/OrdM.net

n≧2として
(k=1,n)√kは無理数であることを証明せよ

これ解けそうで全く歯が立たないんだがどうすればいいんだ？

2 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:49:43.759 ID:xho+FzGVa.net

きたよー

3 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:49:48.478 ID:NKiC/OrdM.net

あ、nは自然数ね

4 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:50:00.889 ID:NKiC/OrdM.net

>>2
たのむ教えてくれ

5 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:50:43.606 ID:NKiC/OrdM.net

普通こういう問題は帰納法使うんだろうけどこの問題に対しては無意味なんよ

6 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:51:20.753 ID:NKiC/OrdM.net

おおおああああああああああっっっヴぁやううあうあ！！！

7 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:52:04.816 ID:NKiC/OrdM.net

うぉっぷ

うっっっっぉおおおっぷ

8 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:52:34.951 ID:NKiC/OrdM.net

ほ

9 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:53:12.258 ID:NKiC/OrdM.net

無理無理むーり無理

10 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:54:19.588 ID:yJBudsjja.net

背理法だろ

11 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:55:04.559 ID:yUZvF1XFM.net

普通に無理数に何を足しても無理数なことを証明したらあかんの？
√2あたりを無理数なことを証明してさ

12 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:55:50.541 ID:NKiC/OrdM.net

>>10
pを有理数とするじゃん？
(k=1,n)√k=p と書けたとするじゃん？

この先はどうすればいいじゃん？？
じゃん？
じゃんじゃん？

13 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:56:02.707 ID:BRrGG7fua.net

普通に計算してルートの中身の一方が2の倍数だから2mとかおいてn≠mを示せばいいんじゃないの

14 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:56:26.630 ID:NKiC/OrdM.net

>>11
いやそれダウトじゃん

√2も2-√2も無理数だけど
足したら2じゃん

15 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:57:45.472 ID:NKiC/OrdM.net

>>13
それって√が1個の場合の証明じゃん？

n個もある場合どうすればいいじゃん？

16 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:57:50.416 ID:8C/II5FT0.net

帰納法でいける

17 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:58:05.839 ID:NKiC/OrdM.net

>>16
どうやって？

18 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:59:21.591 ID:NKiC/OrdM.net

ほ

19 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:59:22.576 ID:0tEPz1zga.net

解けた

20 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 12:59:33.057 ID:NKiC/OrdM.net

>>19
教えて！！

21 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:00:35.471 ID:9ARDxToQa.net

>>12

両辺二乗して左辺が無理数なのを示せよ

22 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:00:40.759 ID:V9tLNMpG0.net

帰納法でいいんじゃない

23 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:02:04.360 ID:NKiC/OrdM.net

>>21
いや和の二乗なんだから左辺はまだむちゃくちゃ√の項残るじゃん？

24 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:02:47.897 ID:NKiC/OrdM.net

>>22
だからどうやって？
>>14の通り無理数の和は無理数とは限らない

25 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:03:01.969 ID:9m1Fw+5q0.net

背理法

26 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:03:26.312 ID:NKiC/OrdM.net

>>25
だからどうやって！？？？

27 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:05:19.411 ID:0tEPz1zga.net

無理数であることを証明するために何すればいいか考えればいいんだよ

28 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:07:04.570 ID:NKiC/OrdM.net

>>27
いや色々考えたぞ、二乗して示す背理法パターンも帰納法パターンも

でも全部議論甘くて無駄だったぞ

もったいぶらず教えてくれよ

間違ってないか？

29 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:07:49.887 ID:NKiC/OrdM.net

はい

30 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:08:01.012 ID:NKiC/OrdM.net

おっっっっしえてええええ！！

31 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:08:28.362 ID:ReUVo3Gap.net

ルートkまでの和を無理数として
んで、kタス1の場合の和を算出
それが有利数にならなければいいんや
ルート2は無理数やから次のルート3までの和も無理数やからな

32 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:09:10.589 ID:NKiC/OrdM.net

>>31
いやだから無理数の和は無理数とは限らないってば>>14見てよ

33 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:10:35.728 ID:NKiC/OrdM.net

無理じゃああ！！！
無理じゃあああああ！！！

34 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:11:30.826 ID:0tEPz1zga.net

無理じゃない
待ってろ

35 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:11:48.041 ID:NKiC/OrdM.net

>>34
ありがとう！！！

36 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:15:25.189 ID:NKiC/OrdM.net

ほ

37 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:16:05.208 ID:V9tLNMpG0.net

有理数と仮定して
n+1の場合からnの場合を引き算
有理数-有理数は有理数よりルートnが有理数になって矛盾
どうかな？

38 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:19:50.075 ID:NKiC/OrdM.net

>>37
背理法だから
｢ある｣自然数nがあって1+...+√nが有理数

と仮定して矛盾導くんだよね

全てのnで有理数とは言ってないからそれはダメじゃないかな

39 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:20:20.602 ID:0tEPz1zga.net

>>37
わかんねーけどそれって【「n+1までが有理数且つnまでが有理数」ではない】しか証明できなくね？

40 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:22:47.630 ID:V9tLNMpG0.net

たしかに
仮定を2つ置いてることになってるのか
すまん

41 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:23:38.507 ID:0tEPz1zga.net

いやでもねぇこれ引き算か割り算する問題だった気がするんだよねえ

42 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:25:08.145 ID:ReUVo3Gap.net

マジレスすると
ルートkまでの和が有利数とするとルートkプラ１も有利数
これを証明しようとすればいい
だが矛盾が発生
つまりルートkまでの和は無理数だったってことや

43 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:28:02.604 ID:NKiC/OrdM.net

>>42
それ完全にダウトじゃん
1は有理数だけど1+√2は無理数

44 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:28:57.306 ID:0tEPz1zga.net

無理数に無理数足して有理数にならない証明と無理数に有理数足して有理数にならない証明すれば終わりだよ
どうやるのか知らんdけど

45 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:29:39.689 ID:NKiC/OrdM.net

>>44
いやだから>>14

46 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:31:41.440 ID:V9tLNMpG0.net

nまでの和が有理数とすると
ルートnが無理数だから有理数-無理数は無理数よりn-1までの和は無理数
これと帰納法組み合わせて何とか証明できんかな

47 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:32:09.290 ID:wfv7+SN3p.net

n=2のとき成立
n≧2のとき成立する(√2 +…+√nが無理数)と仮定
√(n+1)までの和が有理数ならば√(n+1)は無理数、すなわち(n+1)^2は整数でない
ゆえにn+1も整数でなく、nも整数でない
これは矛盾
したがって√(n+1)までの和は無理数でn+1でも成立
数学的帰納法により成立

48 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:33:28.479 ID:0tEPz1zga.net

>>45
これマイナス√になるパターンないくね？

49 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:35:51.012 ID:0tEPz1zga.net

>>47
>√(n+1)までの和が有理数ならば√(n+1)は無理数、すなわち(n+1)^2は整数でない

これまじ？

50 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:36:10.373 ID:Qw0c2z660.net

>>47
はえ〜

51 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:37:31.239 ID:NKiC/OrdM.net

>>47
すなわちからダウト
>>48
そういう問題じゃない
別にそういう形じゃなくても
例えばπ+eが無理数かどうかも未解決だぞ

52 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:38:29.424 ID:0tEPz1zga.net

>>51
じゃあ未解決でいいよ

53 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:39:49.810 ID:wfv7+SN3p.net

>>49
無理数(nまでの和)+有理数(√(n+1))=無理数(n+1までの和)だから成り立つ

54 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:40:03.914 ID:wfv7+SN3p.net

>>51
どうダウト

55 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:41:12.512 ID:NKiC/OrdM.net

>>54
なぜ(n+1)^2が整数じゃないの？
それ絶対おかしいじゃん

56 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:41:23.102 ID:0tEPz1zga.net

>>53
１＋√２　　＋√３
√３は無理数、すなわち３＾２は整数ではない

って書いてあるように見える

57 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:41:30.372 ID:NKiC/OrdM.net

>>52
いや、普通に問題集の問題

58 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:41:43.176 ID:NKiC/OrdM.net

答えはのってなかった

59 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:42:16.135 ID:wfv7+SN3p.net

n^2が整数 ⇒ √nが有理数(整数)
だから
対偶とれば明らかなんだが

60 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:43:38.339 ID:0tEPz1zga.net

じゃあさ
あれだと思うんだ
整数部分と少数部分に分けるやつ
あのルートから整数部分引くやつ
で２引くのと３引くのと４引くの・・・っていうルートの個数がピラミッド式に増えて行くのを利用してなんとかしろ
ってパターンじゃ無いかなぁ
俺は計算面倒だからやらないけど

61 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:43:46.014 ID:wS7r4LCv0.net

体論とかガロア理論知ってると楽っぽいね
俺はまだやってないけど

62 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:44:17.327 ID:NKiC/OrdM.net

>>59
2^2は整数 だから√2は有理数なん？
圧倒的におかしいこといってんじゃん

63 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:44:52.948 ID:wfv7+SN3p.net

すまん頭沸いてたわ

64 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:46:22.475 ID:0tEPz1zga.net

少数部分だけなら一般化だっけ？言葉忘れたけどS=うんたら〜みたいな形にするやつ
少数部分だけならその一般式化？ができると思うからそれ使って解くんだと思う
多分

65 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:47:12.099 ID:LQx4/3lg0.net

>>60
自分もこれだと思った

66 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:51:27.166 ID:0tEPz1zga.net

計算中？頑張れ

67 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:53:13.869 ID:0tEPz1zga.net

ほ

68 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:55:00.847 ID:wfv7+SN3p.net

すなわちn+1=k^2なるkは整数でない
しかし整数の和は整数であるからkは整数でなくてはならない
これは矛盾

これでどうよ

69 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:56:14.193 ID:wfv7+SN3p.net

>>68
あれまたガイジかもしれない
もう一生ROMるわ

70 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 13:57:13.912 ID:0tEPz1zga.net

>>1消えてしまったか？

71 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:14:09.556 ID:NKiC/OrdM.net

ちょっと待って
今

72 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:15:53.463 ID:LTEsmlz2d.net

これって高校生向けなの？

73 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:26:46.012 ID:NKiC/OrdM.net

すまん、ちょっと今まで手が離せなかった

74 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:27:35.637 ID:NKiC/OrdM.net

>>60
小数が積み上がって整数になる可能性を否定出来ないからその方法じゃ厳しいでしょう

75 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:28:20.794 ID:NKiC/OrdM.net

>>61
高校数学で解けるはずなんだが...
やっぱ大学数学使ったほうがいいんかな

76 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:29:06.045 ID:yUZvF1XFM.net

>>74
無理数の定義分かってないじゃん…
極限はあるけどさ

77 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:30:40.613 ID:38fx94ky0.net

この問題が載っていた本の名前を教えてくれ

78 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:32:36.892 ID:NKiC/OrdM.net

>>76
いやだから...
おまえこそ分かってないでしょ本質的には>>14と同じってことなんだよ

79 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:33:19.544 ID:4QtxiAP26.net

これが根になる多項式を作ればいける
ガンバレ

80 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:34:07.601 ID:LTEsmlz2d.net

>>12
pじゃなくてp分のqじゃない？、んでどっちも整数
数学苦手だけど

81 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:34:20.783 ID:NKiC/OrdM.net

>>77
洋書だったんだけどタイトル忘れてもうたな...
ちょっと確認してくる

82 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:36:15.144 ID:NKiC/OrdM.net

>>79
一般のnだから厳しくね？
しかも作れたとこでアイゼンシュタインなりなんなりの既約判定法使えるとは限らなくね？
>>80
いやいやpそのものを有理数としてるからその形にする必要はない
参考書に毒されてるよ

83 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:36:45.886 ID:w+g4QEFyd.net

pが素数のときΣ√pが無理数であることの証明
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7124/irratio.html

84 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:37:11.772 ID:NKiC/OrdM.net

>>76
ぜひ無理数の定義から
無理数の小数部分いくら足しても整数にならないことを証明してくれよ

85 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:38:20.193 ID:NKiC/OrdM.net

>>83
ぐあああああ!!!
拡大体とか使ってんのか
やっぱりガロア必要なんかな...

86 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:39:11.496 ID:LTEsmlz2d.net

>>81
そんなの俺には絶対解けない〜

87 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:40:29.917 ID:ZGpSNedgp.net

n≧2として
f(n)=(k=1,n)√kは無理数である(1)

n=j のとき(1)が成立すると仮定する。
f(j+1)=f(j)+√(j+1) (2)

無理数+有理数=有理数とすると、
無理数=有理数ー有理数=有理数となり矛盾。
よって無理数+有理数=無理数
また、無理数+無理数=無理数
したがって(2)の右辺第一項は無理数なので、
f(j+1)は無理数

88 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:40:58.308 ID:4QtxiAP26.net

モニックだから非整数であることがわかればいけるけど一般のnだと厳しいな
と思ったら>>83か
代数真面目にやらなきゃ

89 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:41:11.266 ID:NKiC/OrdM.net

>>87
だーーーかーーーらーーー

なんべん指摘したらいいんだよ
>>14見てくれ

90 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:41:57.159 ID:V9tLNMpG0.net

>>83
なんじゃこりゃあ…
とても挑んでいい問題じゃなかった…

91 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:43:33.550 ID:wS7r4LCv0.net

>>85
http://integers.hatenablog.com/entry/2016/12/17/000000
一応こっちにガロア使わない証明あるけどガロアの方が楽そうだね

92 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 14:44:32.000 ID:NKiC/OrdM.net

>>91
4つなら確かにゴリ押しで解けそうだけどn個だからなあ...

93 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 15:11:05.656 ID:c+KzUHGkd.net

√2が無理数な時点でほぼ自明じゃね？

94 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 15:15:53.391 ID:V9tLNMpG0.net

π+eが無理数であることの証明って未解決問題なんだへぇ

95 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 15:21:13.787 ID:c+KzUHGkd.net

>>14
まさか√2＋√2が2とかいう意味なのか？？
普通に2√2で無理数やん

96 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 15:21:55.244 ID:38fx94ky0.net

>>95

97 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 15:22:12.696 ID:Ff7g7VPQa.net

>>95
？？？？？

98 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 15:57:14.493 ID:NKGO4Clzd.net

受験生俺解けそうな気がしたけど案の定爆死

99 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 16:15:46.746 ID:NKiC/OrdM.net

>>95
小学校からやり直して

100 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 16:16:04.493 ID:NKiC/OrdM.net

>>93
>>14

何回言えばいいんよ

101 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 16:18:03.154 ID:vqBA+Z5H0.net

むずかしい！

102 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 16:18:27.177 ID:NKiC/OrdM.net

>>95
一応丁寧に言うよ

√2は無理数です
(2-√2)という数もまた無理数です(自明)

だけどそれらを足したら

√2+(2-√2)=2で有理数です

おわり

103 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 16:19:59.520 ID:NKiC/OrdM.net

他にも

cos20°、cos40°、cos80°はそれぞれ無理数だけど足したら有理数になる

104 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 16:20:51.542 ID:vqBA+Z5H0.net

素数ルートで評価するやつ無かったっけ？

105 ：以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします：2017/11/28(火) 16:26:38.137 ID:wfv7+SN3p.net

>>83と>>91は素数ルートの和
>>1は自然数ルートの和