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数学の天才来てくれ
- 1 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 12:49:23.036 ID:NKiC/OrdM.net
- n≧2として
(k=1,n)√kは無理数であることを証明せよ
これ解けそうで全く歯が立たないんだがどうすればいいんだ?
- 17 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 12:58:05.839 ID:NKiC/OrdM.net
- >>16
どうやって?
- 18 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 12:59:21.591 ID:NKiC/OrdM.net
- ほ
- 19 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 12:59:22.576 ID:0tEPz1zga.net
- 解けた
- 20 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 12:59:33.057 ID:NKiC/OrdM.net
- >>19
教えて!!
- 21 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:00:35.471 ID:9ARDxToQa.net
- >>12
両辺二乗して左辺が無理数なのを示せよ
- 22 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:00:40.759 ID:V9tLNMpG0.net
- 帰納法でいいんじゃない
- 23 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:02:04.360 ID:NKiC/OrdM.net
- >>21
いや和の二乗なんだから左辺はまだむちゃくちゃ√の項残るじゃん?
- 24 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:02:47.897 ID:NKiC/OrdM.net
- >>22
だからどうやって?
>>14の通り無理数の和は無理数とは限らない
- 25 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:03:01.969 ID:9m1Fw+5q0.net
- 背理法
- 26 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:03:26.312 ID:NKiC/OrdM.net
- >>25
だからどうやって!???
- 27 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:05:19.411 ID:0tEPz1zga.net
- 無理数であることを証明するために何すればいいか考えればいいんだよ
- 28 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:07:04.570 ID:NKiC/OrdM.net
- >>27
いや色々考えたぞ、二乗して示す背理法パターンも帰納法パターンも
でも全部議論甘くて無駄だったぞ
もったいぶらず教えてくれよ
間違ってないか?
- 29 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:07:49.887 ID:NKiC/OrdM.net
- はい
- 30 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:08:01.012 ID:NKiC/OrdM.net
- おっっっっしえてええええ!!
- 31 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:08:28.362 ID:ReUVo3Gap.net
- ルートkまでの和を無理数として
んで、kタス1の場合の和を算出
それが有利数にならなければいいんや
ルート2は無理数やから次のルート3までの和も無理数やからな
- 32 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:09:10.589 ID:NKiC/OrdM.net
- >>31
いやだから無理数の和は無理数とは限らないってば>>14見てよ
- 33 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:10:35.728 ID:NKiC/OrdM.net
- 無理じゃああ!!!
無理じゃあああああ!!!
- 34 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:11:30.826 ID:0tEPz1zga.net
- 無理じゃない
待ってろ
- 35 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:11:48.041 ID:NKiC/OrdM.net
- >>34
ありがとう!!!
- 36 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:15:25.189 ID:NKiC/OrdM.net
- ほ
- 37 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:16:05.208 ID:V9tLNMpG0.net
- 有理数と仮定して
n+1の場合からnの場合を引き算
有理数-有理数は有理数よりルートnが有理数になって矛盾
どうかな?
- 38 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:19:50.075 ID:NKiC/OrdM.net
- >>37
背理法だから
「ある」自然数nがあって1+...+√nが有理数
と仮定して矛盾導くんだよね
全てのnで有理数とは言ってないからそれはダメじゃないかな
- 39 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:20:20.602 ID:0tEPz1zga.net
- >>37
わかんねーけどそれって【「n+1までが有理数且つnまでが有理数」ではない】しか証明できなくね?
- 40 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:22:47.630 ID:V9tLNMpG0.net
- たしかに
仮定を2つ置いてることになってるのか
すまん
- 41 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:23:38.507 ID:0tEPz1zga.net
- いやでもねぇこれ引き算か割り算する問題だった気がするんだよねえ
- 42 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:25:08.145 ID:ReUVo3Gap.net
- マジレスすると
ルートkまでの和が有利数とするとルートkプラ1も有利数
これを証明しようとすればいい
だが矛盾が発生
つまりルートkまでの和は無理数だったってことや
- 43 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:28:02.604 ID:NKiC/OrdM.net
- >>42
それ完全にダウトじゃん
1は有理数だけど1+√2は無理数
- 44 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:28:57.306 ID:0tEPz1zga.net
- 無理数に無理数足して有理数にならない証明と無理数に有理数足して有理数にならない証明すれば終わりだよ
どうやるのか知らんdけど
- 45 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:29:39.689 ID:NKiC/OrdM.net
- >>44
いやだから>>14
- 46 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:31:41.440 ID:V9tLNMpG0.net
- nまでの和が有理数とすると
ルートnが無理数だから有理数-無理数は無理数よりn-1までの和は無理数
これと帰納法組み合わせて何とか証明できんかな
- 47 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:32:09.290 ID:wfv7+SN3p.net
- n=2のとき成立
n≧2のとき成立する(√2 +…+√nが無理数)と仮定
√(n+1)までの和が有理数ならば√(n+1)は無理数、すなわち(n+1)^2は整数でない
ゆえにn+1も整数でなく、nも整数でない
これは矛盾
したがって√(n+1)までの和は無理数でn+1でも成立
数学的帰納法により成立
- 48 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:33:28.479 ID:0tEPz1zga.net
- >>45
これマイナス√になるパターンないくね?
- 49 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:35:51.012 ID:0tEPz1zga.net
- >>47
>√(n+1)までの和が有理数ならば√(n+1)は無理数、すなわち(n+1)^2は整数でない
これまじ?
- 50 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:36:10.373 ID:Qw0c2z660.net
- >>47
はえ〜
- 51 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:37:31.239 ID:NKiC/OrdM.net
- >>47
すなわちからダウト
>>48
そういう問題じゃない
別にそういう形じゃなくても
例えばπ+eが無理数かどうかも未解決だぞ
- 52 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:38:29.424 ID:0tEPz1zga.net
- >>51
じゃあ未解決でいいよ
- 53 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:39:49.810 ID:wfv7+SN3p.net
- >>49
無理数(nまでの和)+有理数(√(n+1))=無理数(n+1までの和)だから成り立つ
- 54 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:40:03.914 ID:wfv7+SN3p.net
- >>51
どうダウト
- 55 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:41:12.512 ID:NKiC/OrdM.net
- >>54
なぜ(n+1)^2が整数じゃないの?
それ絶対おかしいじゃん
- 56 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:41:23.102 ID:0tEPz1zga.net
- >>53
1+√2 +√3
√3は無理数、すなわち3^2は整数ではない
って書いてあるように見える
- 57 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:41:30.372 ID:NKiC/OrdM.net
- >>52
いや、普通に問題集の問題
- 58 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:41:43.176 ID:NKiC/OrdM.net
- 答えはのってなかった
- 59 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:42:16.135 ID:wfv7+SN3p.net
- n^2が整数 ⇒ √nが有理数(整数)
だから
対偶とれば明らかなんだが
- 60 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:43:38.339 ID:0tEPz1zga.net
- じゃあさ
あれだと思うんだ
整数部分と少数部分に分けるやつ
あのルートから整数部分引くやつ
で2引くのと3引くのと4引くの・・・っていうルートの個数がピラミッド式に増えて行くのを利用してなんとかしろ
ってパターンじゃ無いかなぁ
俺は計算面倒だからやらないけど
- 61 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:43:46.014 ID:wS7r4LCv0.net
- 体論とかガロア理論知ってると楽っぽいね
俺はまだやってないけど
- 62 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:44:17.327 ID:NKiC/OrdM.net
- >>59
2^2は整数 だから√2は有理数なん?
圧倒的におかしいこといってんじゃん
- 63 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:44:52.948 ID:wfv7+SN3p.net
- すまん頭沸いてたわ
- 64 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:46:22.475 ID:0tEPz1zga.net
- 少数部分だけなら一般化だっけ?言葉忘れたけどS=うんたら〜みたいな形にするやつ
少数部分だけならその一般式化?ができると思うからそれ使って解くんだと思う
多分
- 65 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:47:12.099 ID:LQx4/3lg0.net
- >>60
自分もこれだと思った
- 66 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:51:27.166 ID:0tEPz1zga.net
- 計算中?頑張れ
- 67 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:53:13.869 ID:0tEPz1zga.net
- ほ
- 68 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:55:00.847 ID:wfv7+SN3p.net
- すなわちn+1=k^2なるkは整数でない
しかし整数の和は整数であるからkは整数でなくてはならない
これは矛盾
これでどうよ
- 69 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:56:14.193 ID:wfv7+SN3p.net
- >>68
あれまたガイジかもしれない
もう一生ROMるわ
- 70 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 13:57:13.912 ID:0tEPz1zga.net
- >>1消えてしまったか?
- 71 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:14:09.556 ID:NKiC/OrdM.net
- ちょっと待って
今
- 72 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:15:53.463 ID:LTEsmlz2d.net
- これって高校生向けなの?
- 73 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:26:46.012 ID:NKiC/OrdM.net
- すまん、ちょっと今まで手が離せなかった
- 74 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:27:35.637 ID:NKiC/OrdM.net
- >>60
小数が積み上がって整数になる可能性を否定出来ないからその方法じゃ厳しいでしょう
- 75 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:28:20.794 ID:NKiC/OrdM.net
- >>61
高校数学で解けるはずなんだが...
やっぱ大学数学使ったほうがいいんかな
- 76 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:29:06.045 ID:yUZvF1XFM.net
- >>74
無理数の定義分かってないじゃん…
極限はあるけどさ
- 77 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:30:40.613 ID:38fx94ky0.net
- この問題が載っていた本の名前を教えてくれ
- 78 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:32:36.892 ID:NKiC/OrdM.net
- >>76
いやだから...
おまえこそ分かってないでしょ本質的には>>14と同じってことなんだよ
- 79 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:33:19.544 ID:4QtxiAP26.net
- これが根になる多項式を作ればいける
ガンバレ
- 80 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:34:07.601 ID:LTEsmlz2d.net
- >>12
pじゃなくてp分のqじゃない?、んでどっちも整数
数学苦手だけど
- 81 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:34:20.783 ID:NKiC/OrdM.net
- >>77
洋書だったんだけどタイトル忘れてもうたな...
ちょっと確認してくる
- 82 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:36:15.144 ID:NKiC/OrdM.net
- >>79
一般のnだから厳しくね?
しかも作れたとこでアイゼンシュタインなりなんなりの既約判定法使えるとは限らなくね?
>>80
いやいやpそのものを有理数としてるからその形にする必要はない
参考書に毒されてるよ
- 83 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:36:45.886 ID:w+g4QEFyd.net
- pが素数のときΣ√pが無理数であることの証明
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7124/irratio.html
- 84 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:37:11.772 ID:NKiC/OrdM.net
- >>76
ぜひ無理数の定義から
無理数の小数部分いくら足しても整数にならないことを証明してくれよ
- 85 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:38:20.193 ID:NKiC/OrdM.net
- >>83
ぐあああああ!!!
拡大体とか使ってんのか
やっぱりガロア必要なんかな...
- 86 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:39:11.496 ID:LTEsmlz2d.net
- >>81
そんなの俺には絶対解けない〜
- 87 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:40:29.917 ID:ZGpSNedgp.net
- n≧2として
f(n)=(k=1,n)√kは無理数である(1)
n=j のとき(1)が成立すると仮定する。
f(j+1)=f(j)+√(j+1) (2)
無理数+有理数=有理数とすると、
無理数=有理数ー有理数=有理数となり矛盾。
よって無理数+有理数=無理数
また、無理数+無理数=無理数
したがって(2)の右辺第一項は無理数なので、
f(j+1)は無理数
- 88 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:40:58.308 ID:4QtxiAP26.net
- モニックだから非整数であることがわかればいけるけど一般のnだと厳しいな
と思ったら>>83か
代数真面目にやらなきゃ
- 89 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:41:11.266 ID:NKiC/OrdM.net
- >>87
だーーーかーーーらーーー
なんべん指摘したらいいんだよ
>>14見てくれ
- 90 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:41:57.159 ID:V9tLNMpG0.net
- >>83
なんじゃこりゃあ…
とても挑んでいい問題じゃなかった…
- 91 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:43:33.550 ID:wS7r4LCv0.net
- >>85
http://integers.hatenablog.com/entry/2016/12/17/000000
一応こっちにガロア使わない証明あるけどガロアの方が楽そうだね
- 92 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 14:44:32.000 ID:NKiC/OrdM.net
- >>91
4つなら確かにゴリ押しで解けそうだけどn個だからなあ...
- 93 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 15:11:05.656 ID:c+KzUHGkd.net
- √2が無理数な時点でほぼ自明じゃね?
- 94 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 15:15:53.391 ID:V9tLNMpG0.net
- π+eが無理数であることの証明って未解決問題なんだへぇ
- 95 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 15:21:13.787 ID:c+KzUHGkd.net
- >>14
まさか√2+√2が2とかいう意味なのか??
普通に2√2で無理数やん
- 96 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 15:21:55.244 ID:38fx94ky0.net
- >>95
- 97 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 15:22:12.696 ID:Ff7g7VPQa.net
- >>95
?????
- 98 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 15:57:14.493 ID:NKGO4Clzd.net
- 受験生俺解けそうな気がしたけど案の定爆死
- 99 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 16:15:46.746 ID:NKiC/OrdM.net
- >>95
小学校からやり直して
- 100 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 16:16:04.493 ID:NKiC/OrdM.net
- >>93
>>14
何回言えばいいんよ
- 101 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 16:18:03.154 ID:vqBA+Z5H0.net
- むずかしい!
- 102 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 16:18:27.177 ID:NKiC/OrdM.net
- >>95
一応丁寧に言うよ
√2は無理数です
(2-√2)という数もまた無理数です(自明)
だけどそれらを足したら
√2+(2-√2)=2で有理数です
おわり
- 103 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 16:19:59.520 ID:NKiC/OrdM.net
- 他にも
cos20°、cos40°、cos80°はそれぞれ無理数だけど足したら有理数になる
- 104 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 16:20:51.542 ID:vqBA+Z5H0.net
- 素数ルートで評価するやつ無かったっけ?
- 105 :以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします:2017/11/28(火) 16:26:38.137 ID:wfv7+SN3p.net
- >>83と>>91は素数ルートの和
>>1は自然数ルートの和
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