数学の超天才ありがとう

1 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:17:28.138 ID:l0ASfFObM.net

一辺の長さ2の正方形の内部に閉曲線を描く
このとき
(閉曲線が囲う領域の面積)/(閉曲線の長さ)の最大値を求めよ

この問題で3スレくらい費やしたけど自己解決しました

超天才達のおかげ

2 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:17:54.567 ID:XJFI2LZqd.net

おう

3 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:18:10.613 ID:BSr4IcCU0.net

いいってことよ

4 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:19:39.442 ID:l0ASfFObM.net

自己解決というかほとんどスレで出たアイディアを使っただけだけども

5 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:20:35.857 ID:l0ASfFObM.net

結局初等幾何的に解くことが出来ました

6 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:20:55.728 ID:Ea5ERZKI0.net

VIPって一定数賢いやついるんだよな
中学受験算数のタイムアタックみたいなやつでムズイやつ数分で解くやつゴロゴロいてビビった

7 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:21:50.944 ID:l0ASfFObM.net

>>6
今回は流体の専門家から数値解析の専門家まで色んな人に手伝ってもらった

さすがVIPPER 頼りになるわ

8 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:24:04.491 ID:11WyQwhz0.net

あれ結局どうやって証明したの？
ていうかそもそも円弧を切り取るってのは正しかったの？

9 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:25:55.516 ID:l0ASfFObM.net

>>8
結局それで正しいです
なんか局所的アプローチは出来ないとかいってミスリードしてたけど
普通に長さを固定して考えて出来ました

10 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:27:29.719 ID:11WyQwhz0.net

>>9
気になるな
概略だけでもおしえちくり

11 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:28:11.749 ID:qxKzQUKI0.net

何その面白そうなスレ
前スレで議論していた内容すごい見たい

12 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:32:52.372 ID:l0ASfFObM.net

>>10
かなり汚い図だけども概略

とりあえず1/4右上だけで考える

最大図形が正方形と交わるx座標のMaxをaとすれば対称性からy座標Maxもaになる
弧の部分の長さをLとすると、
直線(a,1)-(1,a)と弧で囲まれた部分の面積は弧を円弧にした方が大きくなる

(Lが固定されてるからこの議論が出来る)
後は角がないことを含めればあの形しかないことがわかる
http://o.8ch.net/1245v.png

13 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:33:26.669 ID:l0ASfFObM.net

>>11
数学の超天才来てくれ！！！
でググればログ出ると思う

14 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:35:59.890 ID:l0ASfFObM.net

本当はこの議論するためには厳密には最大図形の｢存在性｣を言わないといけないけど
それはなんやら変分法における直接法なるものを使えば出来るらしい

15 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:38:35.546 ID:11WyQwhz0.net

>>12
なるほど
対称性は自明なのかね？

>直線(a,1)-(1,a)と弧で囲まれた部分の面積は弧を円弧にした方が大きくなる

これl固定されててもどう証明したらいいのか俺にはわかんねーや

16 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:43:08.228 ID:l0ASfFObM.net

>>15
あーうーん対称性は確かに厳密に証明するのは難しいかも
長さが固定されて囲む面積最大ってのはまさに等周問題ってやつです

ラグランジュ方程式使えば弧の曲率は一定っ方程式が出てきて

曲率一定の平面曲線は円か直線しかないことからわかる

17 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:44:37.621 ID:q6zpYuiJd.net

なにで出された問題なんだよ

18 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:47:02.972 ID:R0slHGWr0.net

よく知らんけど、正方形に内接する円の時に最大になるんじゃないの？

19 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:48:07.958 ID:l0ASfFObM.net

>>17
俺のオリジナル問題
ずっと分からんかったんよ

で改めて答えの図形はこんなです

https://m.imgur.com/2jjbMTB.jpg

20 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:49:49.466 ID:l0ASfFObM.net

>>18
違うんよ

それは(面積)/(長さ)^2のとき

この問題は長さが2乗されてなくて次元が違うものの比になってる

実際円の場合は1/2だけど
>>19の場合は約0.53で円より大きい

21 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:56:17.566 ID:SvODfoTDa.net

俺も考えてたけど、直線か円弧が最適になるのは外側の制約がない前提じゃない？
例えば、直線と楕円の弧からなる場合と、直線と円弧からなる場合で後者の方が面積が大きいことはその証明で示せる？

22 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 10:58:14.325 ID:R0slHGWr0.net

>>20
なるほど
厄介そうだな

23 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 11:00:23.963 ID:l0ASfFObM.net

>>21
弧の長さが固定されているってのがポイントで
その場合は変分使って曲率一定が出てくるよ

直線ABと長さLのABを通る弧が囲む面積の最大化問題だよね？

24 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 11:07:07.921 ID:GxB714boa.net

その数学てどこで使えるの？
企業に買い取ってもらうの？

25 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 11:07:53.074 ID:l0ASfFObM.net

>>24
趣味

あーでもやばいな
そっかごめんなさいやっぱりまだ議論甘いのか

26 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 11:10:35.751 ID:SvODfoTDa.net

>>23
周の長さを固定して(a,1)-(1,a)が弧である場合と、(b,1)-(1,c)が楕円の弧である場合(b>a,c<a)

27 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 11:11:08.629 ID:l0ASfFObM.net

弧を円弧にさせた場合正方形からはみ出ないってのは
曲線と正方形は水平に交わる(正方形と接する)性質からいいと思ってたけど

長さ固定議論と水平議論を同時並行で考えてはいけないのか

28 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 11:13:42.958 ID:l0ASfFObM.net

>>26
うーんと多分対称性使えば>>12みたいな感じで(b,1)-(1,c)( b≠c )にはならないと思う

まあもちろん対称性はキチンと証明しないといけないけども

29 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 11:16:53.313 ID:l0ASfFObM.net

あ

30 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 11:23:55.269 ID:l0ASfFObM.net

>>26
あと注意なんだけどaも固定して考えてます
結局最大図形が存在すると仮定して
その最大図形の長さを色々与えて考えればいいじゃんって話です

31 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 11:30:45.209 ID:SvODfoTDa.net

対称性があるとすると、この問題は直角二等辺三角形ABCの直角となる頂点Aから辺BCに長さL（L<BC）となる曲線を引いたとき、BCとの交点をDとする
面積ABDが最小となる曲線はどのような形か？
と解釈できるね
その答えがこうなるのは興味深いし応用も出来そうだ

32 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 11:39:17.354 ID:l0ASfFObM.net

>>31
あれごめん文章読み間違えてる可能性もあるけどそういう問題なら
こうやって曲線を辺にくっつければ面積0で最小にならない？
http://o.8ch.net/1246i.png

33 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 11:39:53.225 ID:l0ASfFObM.net

弧BCと辺BCが囲む面積の最大値なら分かるけども

34 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 11:41:58.477 ID:l0ASfFObM.net

ほ

35 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 11:44:45.266 ID:R0slHGWr0.net

>>31
この問題、Lが可変な中で決めなくちゃいけないからややこしいのだ

36 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 11:53:26.447 ID:l0ASfFObM.net

>>35
しかし実質>>12の議論でLは固定で考えていいはずだと思う
論理的に抜け穴あるかもしれんけども

37 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 11:58:58.468 ID:l0ASfFObM.net

>>12
をもう少し背理法チックに書くとこうです

比最大図形の
(a,1)-(1,a)を通る弧が円弧でないと仮定する
その場合、弧の長さを保ったまま弧を円弧に変形することによって、直線(a,1)-(1,a)と弧が囲う面積は等周問題から大きくなる
したがって弧は変わらず面積が増えるため比はより大きくなる
これは最初の図形が比最大図形であることに矛盾

まわりくどいけど>>12と全く同じこと言ってます

38 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 11:59:08.285 ID:SvODfoTDa.net

>>32
ごめんL<ABだね

39 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2018/01/17(水) 11:59:36.575 ID:l0ASfFObM.net

>>38
その場合曲線は辺BCに届かないよ