π/7に関する三角関数の万能な計算法を思いついたｗｗｗ

1 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:23:24.658 ID:daKTHPRlM.net

[準備]
θ=7/πとして、ε=e^(iθ)とおく
f(k)=ε^k+ε^(-k)、g(k)=ε^k-ε^(-k)とおく
このとき、
0° ε^7=-1
1° f(a)f(b)=f(a+b)+f(a-b)
2° f(a)=-f(7-a)
3° f(a)^2=f(2a)+2
4° g(a)^2=f(2a)-2
が成り立つ

[補題]
f(1)-f(2)+f(3)=1
(∵)x=cosθとおくと色々あって
8x^3-4x^2-4x+1=0
が成り立つので、x=f(1)/2を代入すればよい//

こいつらを使うと発想力0、計算力50あればπ/7の難問が解けてしまう

2 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:25:05.247 ID:daKTHPRlM.net

まず指摘しておくべきなのが、三角関数は全てf(1)、f(2)、f(3)、g(1)、g(2)、g(3)で表せるという事

3 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:26:13.121 ID:daKTHPRlM.net

言葉で言っても伝わりにくいから実演する

4 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:26:42.470 ID:daKTHPRlM.net

4sin(2θ)-tanθの値を求めてみる

5 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:28:04.306 ID:f+jw3hg70.net

一方俺はPythonで数値計算をするのであった

6 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:29:31.553 ID:EaCc0qBNr.net

じゃあ俺はWolfram

7 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:29:47.143 ID:4NmYVP0L0.net

すまん、紙に書いてくれ

乗数書けないとくっそ読みにくい

8 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:39:24.056 ID:daKTHPRlM.net

すまん書くのに時間かかってる

9 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:39:52.267 ID:daKTHPRlM.net

有志は準備と補題をよく理解しておいてくれ

10 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:42:08.958 ID:f+jw3hg70.net

>>7
>>1じゃないけど暇だから書いた
https://imgur.com/cLgZz5k.png

11 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:50:06.964 ID:daKTHPRlM.net

4sin(2θ)-tanθ
=(2g(2)/i)-(g(1)/(if(1)))
=(2g(2)f(1)-g(1))/(if(1))
=(2g(3)+g(1))/(if(1))
より、
(4sin(2θ)-tanθ)^2
=(2g(3)+g(1))^2/(if(1))^2
=(4g(3)^2+g(1)^2+4g(1)g(3))/(-f(1)^2)
=(4f(6)-8+f(2)-2+4f(4)-4f(2))/(-f(2)-2)
=(-4f(1)-8+f(2)-2-4f(3)-4f(2))/(-f(2)-2)
=(4f(1)+3f(2)+4f(3)+10)/(f(2)+2)
=(14+7f(2))/(f(2)+2)
=7
よって4sin(2θ)-tanθ=√7

ほい
雑だけどおまいらなら分かるだろ
分かんなかったら聞いて

12 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:50:36.055 ID:daKTHPRlM.net

>>10
助かる！！

13 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:52:41.002 ID:BchG3Fnra.net

数学屋が使う°ってなんなの？

14 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:53:18.591 ID:daKTHPRlM.net

核心は
・関数gがあったら二乗して関数fになおす
・f(1)、f(2)、f(3)のみの式になおす
・どこかの時点で補題を必ず使う
これだけかな

15 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:53:30.742 ID:daKTHPRlM.net

>>13
俺もよく分からん

16 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:54:14.340 ID:2HQJinMI0.net

めんどくさい

17 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:55:10.585 ID:SWJcxYEY0.net

f(k)=cos(kθ)/2
g(k)=sin(kθ)/2i
だしcosとsinで書くのと何が違うの？

18 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:55:36.979 ID:SWJcxYEY0.net

f(k)=2cos(kθ)/2
g(k)=2isin(kθ)
か

19 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:57:27.545 ID:daKTHPRlM.net

>>16
でもtan^2(θ)+tan^2(2θ)+tan^2(3θ)とかが求められるぞ
普通にやろうとするとテクニカルな発想が必要なはず

20 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:58:02.939 ID:daKTHPRlM.net

>>17-18
そうやって書くとオイラーの公式を使ってる事が分かりにくい

21 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/30(火) 23:58:55.347 ID:daKTHPRlM.net

30分いじればfとgの扱いには慣れるはず
出来るようになると楽しい

22 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/31(水) 00:01:39.338 ID:cyz+nMDS0.net

>>20
別にわかる必要なくね？
kπ/7の三角関数は全部cos(π/7)で書けるしそれを最小多項式で簡単にしてるだけだろ？

23 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/31(水) 00:01:56.161 ID:uENpmT3H0.net

π/7の難問がまずわからない難問が難問

24 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/31(水) 00:06:44.636 ID:/7pPkpQ7M.net

>>22
まあ好きに解釈してくれ
>>23
sin(π/7)やcos(π/7)を含む数式の計算は結構難しい
これを(慣れれば)簡単にやれる手法が>>1と>>11

25 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/31(水) 00:13:08.123 ID:cyz+nMDS0.net

>>24
三角関数の取り扱いに慣れるのと特に変わらない気がするわ
1° から4° は積和の公式？と加法定理だし補題とかいうのはただの把os(2kπ/7)=0だし別に…

26 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/31(水) 00:17:16.133 ID:/7pPkpQ7M.net

>>25
その通りだけどね…
三角関数での計算は道筋が見えにくい
オイラーの公式は項が沢山出てきて大変
ならばfとgと補題で簡潔に書こう！というだけ

27 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/31(水) 00:18:27.533 ID:dv80T6ek0.net

>>11を読みたい奴
https://imgur.com/aSQ33Hf.png

28 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/31(水) 00:19:28.938 ID:/7pPkpQ7M.net

>>27
とても助かりますm(_ _)m

29 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/07/31(水) 00:33:14.266 ID:/7pPkpQ7M.net

練習にこれを計算してみるといいかも…？

tan(θ)*tan(2θ)*tan(3θ)

・gが出たら二乗して消す
・f(1)、f(2)、f(3)の和左になおす
・補題を駆使する
の3つを遵守すれば解けます