数学におけるフェルマー点って知ってる？

1 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 21:48:46.657 ID:6wpfDSI+M.net

三角形ABCに対して、∠APB=∠BPC=∠CPA=120°となるような点Pをフェルマー点と言う

2 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 21:49:15.140 ID:6wpfDSI+M.net

フェルマー点の性質は諸サイトで色々紹介されているが、PA,PB,PCの長さについて言及しているサイトはざっと見たところ無かったので、考察してみた

3 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 21:49:58.260 ID:npcG5vdN0.net

うんちょっちょ

4 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 21:50:57.504 ID:6wpfDSI+M.net

以下△ABCについて、AB=c,BC=a,CA=bとし、そのフェルマー点をFとしてFA=x,FB=y,FC=zとする
a,b,cは既知であり、x,y,zを如何にして求めるかを考える

5 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 21:52:42.488 ID:6wpfDSI+M.net

余弦定理から、次の式が得られる
x^2+y^2+xy=c^2…�@
y^2+z^2+yz=a^2…�A
z^2+x^2+zx=b^2…�B

6 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 21:53:28.877 ID:5M7U2N+V0.net

そんな変数置く必要あるの
辺BC固定してAを動かすだけでいいじゃん

7 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 21:54:35.096 ID:6wpfDSI+M.net

理論的には、この3元の連立2次方程式を解けばx,y,zを求めることができるが、それは実際的ではない

8 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 21:55:33.993 ID:p4p6KC660.net

そういう数学用語って中二心をくすぐるなあと思うがひとつもわからん

9 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 21:55:36.335 ID:6wpfDSI+M.net

>>6
三角形は予め与えられているので動かすことはできない

10 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 21:57:24.178 ID:6wpfDSI+M.net

ここで、新たな定数として三角形の面積Sを導入する
a,b,cは既知なので、ヘロンの公式からSは求めることができる
さらに、天下り的ではあるが、定数T=(a^2+b^2+c^2)/2も導入しておく

11 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 21:57:58.416 ID:CBzuDOPg0.net

Trilinear coordinates for the Fermat point:

1 − u + uvw sec(A − π/6) 
1 − v + uvw sec(B − π/6) 
1 − w + uvw sec(C − π/6)
where u, v, w respectively denote the Boolean variables (A<120°), (B<120°), (C<120°).


wikipediaに各辺への垂線の長さは載ってた

12 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 21:58:10.407 ID:FVKDA85k0.net

重心みたいなのとはまた違うんだ

13 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 22:01:39.424 ID:6wpfDSI+M.net

正弦定理によって、
△FAB:△FBC:△FCA=xy:yz:zx
が分かる。したがって、
△FAB=Sxy/(xy+yz+zx)
であり、これとは別に正弦定理より
△FAB=(√3/4)xy
も分かるので、
(√3/4)xy=Sxy/(xy+yz+zx)
∴xy+yz+zx=(4/√3)S…�C
となる。

14 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 22:02:37.612 ID:wmdyNU9h0.net

日本語でOK

15 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 22:12:14.225 ID:6wpfDSI+M.net

>>11
マジか、英語版wikiは見てなかった
俺の方法は角度に依らない方法なので、時所に応じて使い分けるといいかもね
ところでそのuvwは何？

16 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 22:14:00.951 ID:CBzuDOPg0.net

>>15
where以降に書いてある通りA<120°ならu=1、A≧120°ならu=0だと思う
あってるかどうかは知らん

17 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 22:15:44.044 ID:6wpfDSI+M.net

�@+�A+�B及び�Cより、
2(x^2+y^2+z^2)+(4/√3)S=a^2+b^2+c^2
∴x^2+y^2+z^2=T-(2/√3)S…�D
さらに、�C�Dより、
(x+y+z)^2=T-(2/√3)S+(8/√3)S=T+2√3S
∴x+y+z=√(T+2√3S)…�E

18 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 22:16:27.601 ID:FVKDA85k0.net

正弦定理ってどんな話だっけ

19 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 22:16:42.018 ID:CBzuDOPg0.net

1と0じゃないかもしれん

20 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 22:17:50.463 ID:6wpfDSI+M.net

>>16
あーなるほど
あと>>15では>>11はFA,FB,FCの長さを表してると誤解してたけど正しくは垂線の長さだったのね
色々申し訳ない

21 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 22:19:17.669 ID:6wpfDSI+M.net

>>18
ごめん>>13では正弦定理とか言ってたけど全く正弦定理関係なかったわｗｗｗ
「正弦定理」の文字はスルーしてくれ

22 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 22:19:56.787 ID:q1ekI3++0.net

正三角形の中点みたいなもんか？

23 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 22:23:51.689 ID:6wpfDSI+M.net

�Dよりx^2+y^2=T-(2/√3)S-z^2
�Cよりxy=(4/√3)S-yz-zx
これらを�@に代入して
T-(2/√3)S-z^2+(4/√3)S-yz-zx=c^2
∴z(x+y+z)=T+(2/√3)S-c^2
これと�Eより、
z={T+(2/√3)S-c^2}/√(T+2√3S)

他のx,yも同様に求められる

24 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 22:25:08.886 ID:6wpfDSI+M.net

>>22
その認識であってる
正三角形の場合は五心と一致するね

25 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 22:26:11.356 ID:6wpfDSI+M.net

以上です
なかなか面白い計算だと思うわ

26 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/01/06(月) 23:05:25.133 ID:6wpfDSI+M.net

よく調べたらここのNo.1で書いてる人がいた
面積に注目するのはやはり常套手段か

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/4369095.html