√2が無理数であることの証明ってさ

1 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:15:45.315 ID:2I/l9RwBM.net

√2=m/n
→2n^2=m^2…(＊)
→2n^2=(2k)^2
→n^2=2k^2
→nとmがどちらも2で割れる
→互いに素に矛盾

という流れのやつが有名だけど
最初にn≠1を宣言しておけば
(＊)の時点でmとnが互いに素に矛盾で証明終わりじゃね？

2 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:16:08.145 ID:PsbyPhUz0.net

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3 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:16:09.558 ID:IcFPCPhT0.net

むりっすぅ

4 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:19:20.895 ID:ymMcsNzs0.net

(✳︎)の時点でmとnが互いに素に矛盾とはいうけどその証明が(✳︎)以下だから必要でしょ

5 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:21:40.355 ID:2I/l9RwBM.net

>>4
そうかな？
(＊)を見ればmはnの素因数で割れるわけだから(＊)より下のみみっちい議論は要らなくない？

6 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:23:11.769 ID:HHSj7BkE0.net

(*)←アナル見せたいだけだろ

7 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:24:54.740 ID:tXQBC5+J0.net

わかんないけどウニ食べたい

8 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:30:30.086 ID:ymMcsNzs0.net

>>5
(✳︎)を見ればmはnの素因数で割れるというのは何故？

9 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:32:51.406 ID:2I/l9RwBM.net

>>8
pがnを割り切るならpは2n^2(=m^2)を割り切るでしょ

10 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:36:26.547 ID:ymMcsNzs0.net

>>9
2がnの素因数であることはどうやって分かるの？

11 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:40:07.652 ID:+0e0YhCBM.net

>>10
別に2じゃなくていい
nは何らかの素数pで割れるからmもpで割れる

12 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:46:05.219 ID:ymMcsNzs0.net

>>11
あーnの素因数を一つとって(✳︎)からmもpを素因数に持つよねって話か
確かにそれでもいけるな
まあpが素数だから成り立つ議論だから証明は要ると思うが…

13 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:47:37.323 ID:EPAiHW9tM.net

nが1でないことはどうやって示すの？

14 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:51:05.380 ID:ymMcsNzs0.net

>>13
nが1なら√2は自然数になるがf(x)=x^2はx>0で増加関数でf(1)<2<f(2)だから矛盾みたいな感じかね

15 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:52:06.520 ID:daz95z24a.net

数は元から妄想だ

16 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:53:39.526 ID:EPAiHW9tM.net

>>14
√2が負の整数の可能性があるので自然数とは言えない

17 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:55:14.085 ID:ymMcsNzs0.net

>>16
√2は2の正の平方根って定義のはずだが…

18 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:55:26.629 ID:mzS6j7BC0.net

>>1
それもそうだな
素因数分解の一意性を考えると

19 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:56:16.772 ID:mzS6j7BC0.net

逆に、素因数分解の一意性を使わなくてもできるから>>1の証明がいいんじゃないか？

20 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:56:54.016 ID:ymMcsNzs0.net

というか負の場合を考えてもy=x^2のx>0のケースとx<0のケースで同じことするだけだからそこは本質じゃない

21 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:58:03.279 ID:ymMcsNzs0.net

>>19
良い証明だね
具体的な素因数を取ってこないあたり数学っぽい

22 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 11:59:19.370 ID:U9jEy71oM.net

素因数分解の一意性使うなら(*)で2のべきの偶奇を見るだけ

23 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2020/12/30(水) 12:29:44.489 ID:EPAiHW9tM.net

>>17
そうか、それも証明に追加する必要があるな(場合分けするよりは短い)
つまり、
ある整数n,mを使って√2=m/nと表せるとする
このとき2n^2=m^2…(＊)
まず、√の定義より√2>=0であり、かつ√2=0であるとすると0=2となり矛盾、よって√2は正である
ここでn=1とすると、√2は自然数になるがf(x)=x^2はx>0で増加関数でf(1)<2<f(2)だから矛盾
したがってnは1より大きい
nは1より大きい自然数なのである素因数pを持ち、かつpがnを割り切るならpは2n^2(＊より=m^2)を割り切る
よってmもpを素因数に持つが、mとnが互いに素であることに矛盾

ということね