【数学者来い】整数a,bとし、整数方程式ax+by=g, g=gcd(a,b)について

1 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/04/07(木) 22:58:47.650 ID:OO8ioU9O0.net

x,bが互いに素な解が必ず存在する

これって証明できる？

2 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/04/07(木) 23:00:23.877 ID:Yhtsu3y70.net

できない

3 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/04/07(木) 23:01:58.309 ID:xWcr0ZCh0.net

x,yが互いに素じゃなくて？
x,bなの？

4 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/04/07(木) 23:02:36.080 ID:OO8ioU9O0.net

1≤a<bとしてb=10000ぐらいまで調べたけど凡例見つからん

5 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/04/07(木) 23:02:58.151 ID:OO8ioU9O0.net

>>3
そうだよ

6 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/04/07(木) 23:05:30.526 ID:OO8ioU9O0.net

例えばa=6, b=10, g=2のとき
x,y = 2,-1は2と10が互いに素じゃない。
次の解x,y = -3,2にすれば-3と10が互いに素なので予想は成り立つ

7 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/04/07(木) 23:06:13.284 ID:xWcr0ZCh0.net

背理法でできるようなのじゃないしなぁ
フェルマーの最終定理を解いた時みたいな手法を使う必要があるかも？

8 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/04/07(木) 23:07:05.923 ID:OO8ioU9O0.net

次に良い例で
a=12, b=42でx,y=11,-3があるので成り立つ

9 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/04/07(木) 23:07:30.452 ID:OO8ioU9O0.net

>>7
ふぁ？
宇宙なんとかかんとか？

10 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/04/07(木) 23:10:15.432 ID:xWcr0ZCh0.net

>>9
宇宙際タイヒミュラー理論はABC予想だな
フェルマーの最終定理はモジュラリティ定理だってさ

11 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/04/07(木) 23:11:20.577 ID:OO8ioU9O0.net

何理論使ってもいいから証明してほしいわ

12 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/04/07(木) 23:13:05.595 ID:OO8ioU9O0.net

一日考えたけどわからん

13 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/04/07(木) 23:16:18.625 ID:OO8ioU9O0.net

うまく鳩の巣原理に帰着できる？

14 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/04/07(木) 23:19:41.632 ID:OO8ioU9O0.net

ベズーの補題ってpがmod gで0,1...,g-1を回るみたいな示し方だったよな…
それ使えばできる？

15 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/04/07(木) 23:21:44.803 ID:P1csDlEQ0.net

どしろーと質問だが1<=a<bって仮定していいのか？
aとbが対称的ではないし、符合逆でもよさそうなのに

16 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/04/07(木) 23:24:16.472 ID:OO8ioU9O0.net

>>15
俺がこの定理を使うのは1≤a<bの条件の範囲だからね…
その条件をスレタイに書けばよかった

17 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/04/07(木) 23:26:29.259 ID:OO8ioU9O0.net

整数a,b(1≤a<b, g=gcd(a,b))にたいして
整数方程式ax+by=g
はx,bが互いに素な解が必ず存在する