いろんな解き方があるけれど… z^2 + (1/z^2)=1のとき、z^100 + (1/z^100)の値を求めよ

1 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/08/04(木) 12:03:19 ID:QwurNHpl0.net

二時間くらい複雑な手順でなんとか解答を求めたが、
できる人なら2分30秒で解けてしまう問題だった

2 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/08/04(木) 12:03:46 ID:N5VAF9640.net

宿題他力本願定期

3 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/08/04(木) 12:04:23 ID:QwurNHpl0.net

>>2
考えまくって解けたのだけをネタに使ってる

4 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/08/04(木) 12:05:41 ID:9wOiH/nWM.net

漸化式 QED

5 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/08/04(木) 12:06:35 ID:QwurNHpl0.net

>>4
瞬殺できる解法がある

6 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/08/04(木) 12:09:25 ID:2Lb+aRDV0.net

最初の式をz=～にしてド･モアブル使えばよくね？

7 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/08/04(木) 12:12:07 ID:/063YHUD0.net

1-Σ100Ck？

8 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/08/04(木) 12:13:47 ID:/063YHUD0.net

ちがうか

9 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/08/04(木) 12:18:05 ID:QwurNHpl0.net

これって　z^4 - z^2 +1 = 0 から　z^2 を求めることができるが複素数解
そこでx=z^2と置くと x^2 - x + 1 = 0という見慣れた方程式
これに(x-1)を掛けてやると、単純な形になる
それで瞬殺

10 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/08/04(木) 12:18:34 ID:/063YHUD0.net

普通にz2について解いて代入すればいいのか？

11 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/08/04(木) 12:18:38 ID:QwurNHpl0.net

間違えた(x+1)ね

12 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/08/04(木) 12:19:01 ID:QwurNHpl0.net

>>10
死ぬほど時間がかかると思う

13 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/08/04(木) 12:27:32 ID:QwurNHpl0.net

ちなみに俺は(z+1/z)^2=z^2+(1/z^2)+2から

z+1/z=±√(1+2)=±√3

としてシコシコ解いた
途中計算間違いをして何度かやり直したｗ

14 ：ケロイドカルパッチョ ◆XFDO5cuQ4g ：2022/08/04(木) 12:32:07 ID:z9lkNB7B0.net

なるほどな
俺はz^2だしてドモアブル使ってz^100だして
z^100+1/z^100=z^100+(zバー)^100=2Re(z^2)を計算したわ
結局zが1の6乗根で有ることを利用してはいる

15 ：ケロイドカルパッチョ ◆XFDO5cuQ4g ：2022/08/04(木) 12:32:49 ID:z9lkNB7B0.net

間違えた2Re(z^100)だったわ

16 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/08/04(木) 12:35:58 ID:XSy9quYJ0.net

やっぱ漸化式でやっちまうわこれは

17 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/08/04(木) 12:40:18 ID:QwurNHpl0.net

解答例

z^2+1/z^2=1
z^4 - z^2 + 1 = 0

x=z^2とおく
x^2 - x + 1 = 0

両辺に(x+1)を掛けると

x^3 + 1 = 0
x^3 = z^6 = -1

z^100 + 1/z^100 においてz^6 = -1と置き換えると

z^96*z^4 + 1/(z^96 * z^4) = (-1)^16 * z^4 + 1/{(-1)^16 * z^4}
=z^4 + 1/z^4

(z^2 + 1/z^2)^2 = z^4 + 1/z^4 +2 = 1^2　だから

z^4 + 1/z^4 = 1 - 2 = -1

18 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2022/08/04(木) 12:41:11 ID:QwurNHpl0.net

>>14
極形式のほうがわかりやすいかもな