数学の問題作ったから高学歴VIPPER解いてみて！

1 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

中心O、半径1の円の内部に、被らないようにいくつかの円を配置します

このとき、それぞれの円の(中心からOまでの距離×半径)^2の和は1/2以下となることを示してください

2 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

3

3 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>2
証明問題だから3とかじゃないんよ

4 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

じゃあ4

5 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

πだろ

6 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

4か

7 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

ちなみに1/2はsupなのでこれ以上小さくは出来ません

8 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>4-6
ざんねん

9 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

まあ簡単だわな

10 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

解けたがここに書くには余白がたりない

11 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>9
おおやるじゃん
さすが高学歴集団

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>>10
フェルマーもVIPPERだったか

13 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

それを示すことに価値を見出せない
中心から半径までの距離の二乗って何の面積なんだよ

14 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>13
中心から半径の二乗じゃないぞ
中心までの距離×半径の二乗だぞ

15 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

こういうのはとりあえず実験だな

16 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

じゃあπ/2だ

17 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>13
面積に対応するわけじゃないけど
円に円を詰め込む問題の定量的評価になってるよ

18 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>15
おおやるじゃん

>>16
証明問題だよ

19 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>14
んでその値には何かしらの利用価値があんのか

20 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>19
ある種のパッキング問題の必要条件になってるよ

これが成立しないとパッキングできないという判断材料のひとつになる

21 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

わかった
1/2を超えると円から溢れるからQAD

22 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>20
そもそもそんな容器に筒を入れようとするな

23 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>21
1/2超えると円から溢れるのはなぜ？

24 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>22
じゃあ解かなくていいよ

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>>4
これな

26 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

作図すればわかる

27 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>26
おおユークリッド的天才か？

28 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

でも正直最大値が円2の1/2のことは自明だよね
単調増加ではないけど

29 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>28
円二つじゃ1/2になりえないよ

30 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

大学受験を思い出す感じだな
こういう図形と関数を組み合わせたような問題は無理だったわ

31 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

これは流石にむずい

32 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

紙が必要な感じの問題？
必要ないなら考える

33 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>30
確かに受験問題チックだね

34 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>32
紙はギリいらないよ

実際解答自体は3行とかだよ

35 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

鳩の巣原理だろ？簡単すぎ

36 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>35
それぞれの円のサイズが違うから鳩ノ巣は使えないんじゃないかな
わからないけど
少なくとも俺が用意した解法だと使わないよ

37 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

考えよ

38 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>37
ありがと！！！

39 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

sup 1/2の円を内部に中心どこか取る
この時もう一個必ず円がもう一つ作れる
はい論破w

40 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

とりあえず中心を跨がない方がいいのはすぐわかるな

41 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

中学数学の知識で解ける？

42 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>39
supって概念は達成するとは限らないんよ

例えば[0,1) (0以上1未満の集合)は1がsupだけど1自体は達成できない

43 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>40
おお

44 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>41
ごめんそれは無理だね

45 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

和だから最大を出すっぽいけど作図必要？

46 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

一つの円だけで考えるならr=1/2で最大なのはわかるけど
円のサイズによって敷き詰めれる円の数というか量が変わるじゃん？

無理

47 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>45
ちなみに作図は一切必要ないよ

48 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

無限に円が入るんだから作図は無理でしょ

49 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>46
一つの円だとどうやっても1/2にはならないはずだよ

(中心からOまでの距離)×(半径)　の二乗なので

50 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

絶対面積絡んでくると思うんだよな
それと-r^2+r

51 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>46
円のサイズも位置も数もバラバラだね
それを一体どのようにして統一的に扱うか

52 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>48
まさしくその通りです
なにか集合論的アプローチが必要

53 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>50
ややや

54 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>1の（）使った日本語が変でよくわからない

55 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>54
ゴメン
それぞれの円の
{(中心からOまでの距離)×(半径)}^2の和です

56 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

半径1/2の円を4個書いても1/4だから、被りがない円だと1/2いかない

57 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>56
1/2にはならないけど実はいくらでも1/2に近付くことは示せるよ

58 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

細かくすれば改善するため～みたいな方針でいこうとしたけど全然違ったわ
どうするんだろう

59 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

いや違わないか？わからん

60 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

この方針でいいっぽいな
薄いドーナツを小さい円で充填率1になるまで満たすのを考える∫[r=0→1]2r^3dr=1/2に近付く

61 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

・無限個の円たちでスコアがSのものがあった時、任意のε>0に対してこれらの有限部分集合でスコアがS-ε以上のものがとれる

・任意の条件を満たす有限個の円たちと、任意のε>0に対して、有限個の円たちのスコアをSとして、薄っぺらいドーナツに小さい円を充填したものでスコアがS-ε以上のものが取れる

はすぐわかるからあとは

・円を細かくしてスコアを上げられる

が示せればいいが…
sssp://o.5ch.net/1z6e4.png

62 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

多分この部分の面積を評価すれば小さい円でスコアが下がらないのも示せるはず
計算が大変そうだからここまでで
sssp://o.5ch.net/1z6ed.png

63 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

円の内部に任意の同心円作って差から1/2に満たないって感じじゃ無理そうだな

64 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

ゴメンちょっと急用で出掛けてた
今から検討します

65 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>60
おおおいいね
まさに1/2の近づけ方は
円の半径をどんどん小さくしていき、限りなく円内を埋め尽くせばいいという感じです

66 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>61
たしかにこれで細かさ→和の増大が示せれば
あとはsupの定義から1/2がわかるね

67 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>62
面白い方針ではあるけど確かに計算が重たいね
実はとある工夫をすれば計算はほとんどいりません

68 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>60-61
改めてドーナツ上に区切って、ドーナツの幅をΔrとして
足し合わせればrの積分になるという発想はとても頭いいですね
これはこれで確かにこの方針としてうまくいけそう

69 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

計算しないでいけるのかぁ

70 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>69
劣調和関数(Δu≧0を満たす関数u)のとある性質を認めれば計算はほとんどいらないという感じですね

71 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

PDEのノート探してくるか

72 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>71
おおPDE受講済みか
数学科？

73 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>72
Dでドロップアウトした落ちこぼれ

74 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>73
ピュアマスでドクター行けた時点で数学に関してはハイパーエリートだぞ

75 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

|z|^2 = x^2+y^2が劣調和だから
|z|^2 ≦ (1/2π)∫[0,2π]|z+re^(iθ)|^2dθ
足し合わせて
Σ|z_c|^2 ≦ Σ∫∫[(x,y)∈c](x^2+y^2)dxdy
≦∫∫(x^2+y^2)dxdy = ∫∫r^2 * rdrdθ = π/2
か～
こんなの完全に忘れてた

76 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>75
うおおおおお！！！！
ｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━!!

まさしくその通り！！！　大正解！
完璧！cが円の属だよね

まさしく劣調和関数に対する平均値の性質を使う問題でしたー

77 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

お見事
和を積分に変換して円の和集合を統一的に扱う
というのがポイントでしたー

78 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

中心z半径rの円に対して
|z|^2 ≦ (1/2πr^2)∫[0,2π]|z+re^(iθ)|^2dθ
r^2|z|^2 ≦ (1/2π)∫[0,2π]|z+re^(iθ)|^2dθ
か
間違った

79 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

3行で解けるという模範解答は？

80 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

数学忘れそうだから問題スレは積極的にたててくれ

81 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>78
失礼しました
確かに積分平均の操作が必要だね

まあ平均値の性質を認めなくとも
強引に計算すれば
∫_B(r;x_0,y_0) (x^2+y^2) dxdy≧ πr^2 {(x_0)^2+(y_0)^2}
は導けますね

82 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

うんうんなるほど

83 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>79
>>75とほぼ変わらないけど

「u(x,y)=x^2+y^2とおけば、Δu=2≧0より、uは劣調和
よって平均値の性質からπΣ_{n=1}^∞ (r_n)^2 {(x_n)^2+(y_n)^2}≦∫_{∪_{n=1}^∞ B(r_n,(x_n,y_n)) (x^2+y^2)dxdy≦∫_B(1;0) (x^2+y^2)dxdy =π/2」
という感じですね

84 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>80
お見事でした
この和と積分の不等式対応が中々素人じゃ思いつかない所

このように集合の中に沢山集合がある量の評価は積分で扱ったほうがよい、という問題でした
だ

85 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

これは仮定法を使います

86 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：[ここ壊れてます] .net

>>85
この手の問題は背理法だと中々難しそう