数学の(俺の中では)凄い発見をした！！部分分数分解とおサラバできるぞ！！

1 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:03:47.792 ID:sTeelzexM.net

P(x)、Q(x)をモニック多項式とする。
P(x)=0の解の集合をFとして、
P(x)=0は重解を持たないとする。
このとき、
∫(Q(x)/P(x))dx=Σ[ω∈F]Q(ω)log(x-ω)/P'(ω)
が成り立つ。

これあまり知られていないお役立ちじゃない？？

2 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:04:16.203 ID:5zSvrqnE0.net

(。・ω・。)

3 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:04:49.362 ID:B5dc4kba0.net

めんどくさ

4 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:05:36.875 ID:FD2hoqUe0.net

それ使えないよ

5 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:06:45.228 ID:IB8pc152M.net

P(x)=x+i
Q(x)=(x+i)^2
x^2 /2 +ix = 0

ならないじゃん

6 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:08:08.664 ID:sTeelzexM.net

便利である事をよく示す例を挙げておこう

∫(x^2+x-1)/(x^4-5x^2+4)dx

この分母は
(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)と因数分解される
つまりF={±1,±2}
さらに分母の微分は4x^3-10x

積分の結果は
(-1/6)log|x+1|+(-1/6)log|x-1|+(5/12)log|x-2|+(-1/12)log|x+2|+Const.

7 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:10:05.244 ID:sTeelzexM.net

>>5
P'(ω)≠0(for∀ω∈F)であるって書かなきゃダメだったか

8 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:11:53.476 ID:OIYsQdKHM.net

ほぼユニバーサルメルカトル図法じゃん
ググってみ？

9 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:12:01.349 ID:sTeelzexM.net

さらに、>>1の考え方を用いれば
明示的に書けない積分もできる

F={ω|ω^5-4ω+1=0}
∫(1/(x^5-4x+1))dx=Σ[ω∈F]log(x-ω)/(5ω^4-4)

10 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:12:33.627 ID:sTeelzexM.net

>>8
Googleの入社試験だっけ？

11 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:13:20.788 ID:IB8pc152M.net

P(x)=x+i
Q(x)=(x+i)^2

∫Q/Pdx=∫(x+i)dx=x^2 /2 + ix
F={-i}
P'(-i)=i≠0

Σ[ω∈F]Q(ω)log(x-ω)/P'(ω)=0
/ i = 0

x^2 /2 + ix = 0(∀x)？

12 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:13:32.750 ID:rzQYK8Px0.net

(x-ω)
↑よくわからんけどこのへん顔文字に見える

13 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:13:47.979 ID:sTeelzexM.net

これ自体は自分で思いついたものではなく、wolframさんに教えて頂きました
証明は自分で考えたけど

14 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:14:03.096 ID:IB8pc152M.net

>>11
P'(-i)=1だった
どちらにせよ成り立たなくね

15 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:16:01.683 ID:jzTCNzfb0.net

=Σ[ω∈F]Q(ω)log(x-ω)/P'(ω)

かわいい

16 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:18:27.893 ID:sTeelzexM.net

>>14
おかしいな、大半は成り立つのに…
PとQにかかる条件があまいんだわ
少し検討してみる

17 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:23:44.846 ID:LyWVxH64M.net

分かった、おそらくP(x)が2次以上でなければ使えない
つまり|F|≧2でないとダメ
これで必要十分かな

18 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:35:45.412 ID:pPga+4Zo0.net

∫1/(x^2+1)dx=tan^(-1)x=log(x+i)/2i-log(x-i)/2i
べんり！

19 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:38:01.902 ID:TVKP/sDYM.net

>>18
(使い時を誤らなければ)便利

20 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:46:53.328 ID:pPga+4Zo0.net

条件としては
P,QはモニックかつPとQが互いに素かつF⊂Rかつ¬(0∈P'(F))
ぐらいな気がする

21 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:51:06.361 ID:TVKP/sDYM.net

>>20
最後の¬(0∈P'(F))以外はどれも不要だよ

22 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:52:58.624 ID:DiqXXe/U0.net

君たち数学を専攻してるの？
すごい

23 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:53:05.705 ID:TVKP/sDYM.net

ただし既に述べたけど|F|≧2も必要

24 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 11:55:01.771 ID:pPga+4Zo0.net

>>21
>>18の最後の等式は正しいの？右辺符号が逆なのはおいといて

25 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 12:02:38.990 ID:TVKP/sDYM.net

>>24
正しい
∫(1/(x^2+1))dx
=log(x-i)/2i-log(x+i)/2i
={log|x-i|+iarg(x-i)}/2i-{log|x+i|+iarg(x+i)}/2i
={log(√(x^2+1))+iarg(x-i)}/2i-{log(√(x^2+1))+iarg(x+i)}/2i
=iarg((x-i)/(x+i))/2i
=iarg((x-i)^2)/2i
=2iarg(x-i)/2i
=arg(x-i)
=Arctanx

26 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 12:05:50.400 ID:TVKP/sDYM.net

>>25
最後の行補足
=Arctan(-1/x)
=π/2-Arctan(-x)
=Arctanx+Const.

27 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 12:12:23.431 ID:pPga+4Zo0.net

>>25
ホンマや
虚数含みだから違和感あったんだけど、よく考えたら複素共役の和で出来てるしな

28 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 12:16:39.556 ID:TVKP/sDYM.net

>>27
確かに実部とって2倍すりゃ良かった
無駄な事したわ

29 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 12:19:26.904 ID:pPga+4Zo0.net

互いに素じゃなくて¬P|Qかもしれない
そうじゃないとdeg(P)>=2でも例えば
P=(x-1)(x-2)
Q=(x-1)(x-2)(x-3)

∫Q/P=x^2/2-3x
(右辺)=0

30 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 12:22:51.466 ID:TVKP/sDYM.net

>>29
あー確かに…
見落としてたわ

31 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 12:27:41.741 ID:TVKP/sDYM.net

条件は多分Q(ω)≠0(for∀ω∈F)だな
だから「PとQが互いに素」でいいと思う

32 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 12:29:55.906 ID:TVKP/sDYM.net

いや、分からんぞ…

33 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 12:31:16.654 ID:pPga+4Zo0.net

>>31
互いに素でなくても
P=(x-1)(x-2)
Q=(x-1)

∫Q/P=log(x-2)
(右辺)=0*log(x-1)/(-1)+1*log(x-2)/1=log(x-2)

だしなぁって思って考え直した

34 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 12:35:01.016 ID:TVKP/sDYM.net

>>33
そうだよな…
自分で書いた証明見てて思ったけど
これは部分分数分解でスルーされてる例の問題が根本原因だわ

1/(x-1)(x-2)=A/(x-1)+B/(x-2)
のA、Bを求める時に
1=A(x-2)+B(x-1)
としてx=2とx=1を代入するじゃん？
これ本来はやってはダメなんじゃ…？という問題

35 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 12:35:59.500 ID:TVKP/sDYM.net

ここでx=2とx=1を代入してもOKである場合の、分母の満たすべき条件は何だろう

36 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 12:42:53.550 ID:pPga+4Zo0.net

Q/P=Σ[ω∈F]c(ω)/(x-ω)
とおいて、両辺に(x-ω)掛けてx→ωの極限取ってc(ω)求める方法を思い出した

lim(x-ω)Q/Pはロピタルを使うわけだが、ロピタルが使える条件に帰着すれば条件洗い出せる気がする

37 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 12:45:44.572 ID:Myh3s8hzM.net

>>36
まさにそれだ！
てか>>1の証明もそれだね

38 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 12:46:00.735 ID:TeCBMBzm0.net

こーゆうのって数学科でやるのん？

39 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 12:47:06.364 ID:IB8pc152M.net

>>38
モニック多項式とかはやる

40 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 12:48:30.337 ID:OIYsQdKHM.net

プログラミング勉強中だけど数学やり直す必要があるな

41 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 12:58:18.746 ID:11ZUOokKM.net

すまんやっと分かったわ
ロピタルは特に絡まなかった

deg(P)>deg(Q)で必要十分なはず

42 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 12:59:40.080 ID:11ZUOokKM.net

deg(P)≦deg(Q)のときはリダクションすれば問題なし

Pが2次以上じゃなきゃいけないという条件はこれに包括されるから不要になった

43 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 13:07:36.374 ID:pPga+4Zo0.net

>>41
俺もそんな気がした
ロピタルというよりQ/P=Σ[ω∈F]c(ω)/(x-ω)とおけるかどうかが問題だった感

44 ：以下、？ちゃんねるからVIPがお送りします：2019/06/15(土) 13:14:23.601 ID:VwrYNoSCM.net

>>43
そうそれｗ
しかしあんまり認めたくないけど>>1の式はそれほど役に立たなそうだな…
発見した時から時間が経つと冷める…
1/(1+x^3)を積分するのも一苦労だし重解はダメだし